思维特训(四) 与四边形有关的变换问题 轴对称、平移和旋转是图形的三种基本变换，这些变换往往与特殊的平行四边形相结合，解决 相关问题，需要注意图形变换的特征与特殊平行四边形性质的综合应用，还要注意特殊三角形的性 质、勾股定理及全等三角形相关知识的渗透 类型一 与轴对称相关的问题 1如图 4S1，在矩形 ABCD 中，AB10，BC5，点 E，F，G，H 分别在矩形 ABCD 各边上， 且 AECG，BFDH，则四边形 EFGH 周长的最小值为( ) A5 B10 C10 D15 5533 图 4S1 2如图 4S2 所示，在矩形 ABCD 中，DAC65，E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于点 F，将 BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C处，则AFC_ 图 4S2 3如图 4S3，在矩形 ABCD 中，AB3，AD1，点 P 在线段 AB 上运动，设 APx，现将纸 片折叠，使点 D 与点 P 重合，得折痕 EF(点 E，F 为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原 (1)当 x0 时，折痕 EF 的长为_；当点 E 与点 A 重合时，折痕 EF 的长为_ (2)请写出使四边形 EPFD 为菱形的 x 的取值范围，并求出当 x2 时菱形的边长 图 4S3 类型二 与平移相关的问题 4已知：如图 4S4，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，P 为正方形 AD 边上的一点 (不与点 A，D 重合)，将正方形纸片折叠，使点 B 落在点 P 处，点 C 落在点 G 处，PG 交 DC 于点 H， 折痕为 EF，连接 BP，BH. (1)求证：APBBPH； (2)当点 P 在边 AD 上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论 图 4S4 5如图 4S5，将ABC 沿着射线 BC 方向平移至ABC，使点 A落在ACB 的外角平分 线 CD 上，连接 AA. (1)判断四边形 ACCA的形状，并说明理由； (2)在ABC 中，B90，AB24，求 CB的长 AB AC 12 13 图 4S5 6如图 4S6，BD 是矩形 ABCD 的对角线，ABD30，AD1.将BCD 沿射线 BD 方向平移到BCD的位置，使 B为 BD 的中点，连接 AB，CD，AD，BC，如图. (1)求证：四边形 ABCD 是菱形； (2)四边形 ABCD的周长为_； (3)将四边形 ABCD沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形， 直接写出所有可能拼成的矩形的周长 图 4S6 类型三 与旋转相关的问题 7如图 4S7，将矩形 ABCD 绕点 C 旋转得到矩形 FECG，点 E 在 AD 上，延长 ED 交 FG 于点 H. (1)求证：EDCHFE. (2)连接 BE，CH. 四边形 BEHC 是怎样的特殊四边形？证明你的结论； 当 AB 与 BC 的比值为_时，四边形 BEHC 为菱形 图 4S7 8问题情境： 两张矩形纸片 ABCD 和 CEFG 完全相同，且 ABCE，ADAB. 操作发现： (1)如图 4S8，点 D 在 GC 上，连接 AC，CF，EG，AG，则 AC 和 CF 有何数量关系和位置 关系？并说明理由 实践探究： (2)如图，将图中的纸片 CEFG 以点 C 为旋转中心逆时针旋转，当点 D 落在 GE 上时停止 旋转，则 AG 和 GF 在同一条直线上吗？并说明理由 图 4S8 详解详析详解详析 1B 解析 如图，作点 E 关于 BC 的对称点 E，连接 EG 交 BC 于点 F.过点 G 作 GGAB 于点 G.AECG，BEBE，EGAB10. GGAD5，EG5. EG2GG25 四边形 EFGH 周长的最小值2EG10.故选 B. 5 240 解析 在矩形 ABCD 中，DAC65，ACD90DAC9065 25. 将BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C处，四边形 BCEC是正方形， BEC45. 由三角形外角的性质，得BFCBECACD452570， 由翻折的性质得BFCBFC70， AFC180BFCBFC180707040. 3解析 (1)当 x0 时，点 P 与点 A 重合，则折痕 EF 为 AD 的中垂线，满足 EFABCD；当 点 E 与点 A 重合时，折痕 EF 为DAB 的平分线，从而构造出等腰直角三角形，利用勾股定理求出 EF 的长(2)要探究四边形 EPFD 为菱形，必须始终满足对角线互相平分且 DPEF，同时对角线 DP，故 AP1，从而确定 AP 的取值范围；当 x2 时构造出 RtADE，借助勾股定理列出方程 2 解出 x 的值 解：(1)当 x0 时，折痕 EFABCD， EFAB3； 当点 E 与点 A 重合时，折痕 EF 为等腰直角三角形 DEF 的斜边，则 EF 的长为. 2 故填：3， 2 (2)要使四边形 EPFD 为菱形，必须始终满足对角线互相平分且 DPEF，同时对角线 DP， 2 则 AP1，故 AP 的取值范围为 1x3. 当 x2 时，如图，连接 DE，PF.EF 为折痕，DEPE，设 PEm，则 AE2m.在 Rt ADE 中，AD2AE2DE2， 即 1(2m)2m2，解得 m ，故此时菱形的边长为 . 5 4 5 4 4解：(1)证明：由折叠知 PEBE， EBPEPB. EPHEBC90，EPHEPBEBCEBP，即BPHPBC. ADBC，APBPBC， APBBPH. (2)PDH 的周长不变，为定值 8. 证明：如图，过点 B 作 BQPH，垂足为 Q. 由(1)知APBBPH. 在ABP 和QBP 中， APBBPH，ABQP，BPBP， ABPQBP(AAS)， APQP，ABBQ. 又ABBC，BCBQ. 又CBQH90，BHBH， RtBCHRtBQH(HL)，CHQH. PDH 的周长为 PDDHPHAPPDDHCHADCD8. 5解：(1)四边形 ACCA是菱形理由如下：由平移的性质得到 ACAC，且 ACAC， 则四边形 ACCA是平行四边形， ACCAAC. CD 平分ACB 的外角，即 CD 平分ACC，CD 也平分AAC， 四边形 ACCA是菱形 (2)在ABC 中，B90，AB24，即，AC26. AB AC 12 13 24 AC 12 13 由勾股定理知 BC10. AC2AB2 又由(1)知，四边形 ACCA是菱形， AAAC26. 由平移的性质得到 ABAB，ABAB，则四边形 ABBA是平行四边形， BBAA26，CBBBBC261016. 6解：(1)证明：BD 是矩形 ABCD 的对角线，ABD30，ADB60. 由平移可得 BCBCAD，DBCDBCADB60，ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形 B为 BD 的中点， 在 RtABD 中，AB BDDB. 1 2 ADB60，ADB是等边三角形， ADAB，四边形 ABCD 是菱形 (2)由平移可得 ABCD，ABDCDB30，ABCD，四边形 ABCD是 平行四边形又由(1)可得 ACBD，四边形 ABCD是菱形 ABAD， 33 四边形 ABCD的周长为 4. 3 故答案为 4 . 3 (3)将四边形 ABCD沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如 下： 矩形的周长为 6或 23. 33 7解：(1)证明：矩形 FECG 是由矩形 ABCD 旋转得到的， EFABCD，FEDC90，FHEC， FHECED. 在EDC 和HFE 中， EDCF，CEDFHE，CDEF， EDCHFE. (2)四边形 BEHC 为平行四边形 证明：EDCHFE，ECEH. 矩形 FECG 是由矩形 ABCD 旋转得到的，EHECBC，EHBC，四边形 BEHC 为平 行四边形 如图，连接 BE，CH. 四边形 BEHC 为菱形， BEBC. 由旋转的性质可知 BCEC， BEECBC，EBC 为等边三角形， EBC60，ABE30， ABBE2. 3 又BEBC，AB 与 BC 的比值为. 3 2 8解：(1)ACCF，ACCF.理由如下： 矩形纸片 ABCD 和 CEFG 完全相同，且 ABCE， BCEF，BCEF90. 在ABC 和CEF 中， ABCE，BCEF，BCEF， ABCCEF(SAS)， ACCF，ACBCFE. 在 RtCEF 中，CFEECF90， ACBECF90， ACFBCDECG(ACBECF)90909090， ACCF. (2)AG 和 GF 在同一条直线上理由如下： 矩形纸片 ABCD 和 CEFG 完全相同，且 ABCE， ADGC，ADCGCE90，CDCE， ACDGEC(SAS)，CDEDEC， ACDGEC，ACGE，ACDCDE，GEAC， 四边形 ACEG 是平行四边形，AGCE. 又在矩形 CEFG 中，GFCE，AG 和 GF 在同一条直线上(过直线外一点有且只有一条 直线与已知直线平行)