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第一课任意角的三角函数及诱导公式核心速填1与角终边相同的角的集合为S|k360,kZ2角度制与弧度制的换算3弧度制下扇形的弧长和面积公式(1)弧长公式:l|r.(2)面积公式:Slr|r2.4任意角的三角函数(1)定义1:设任意角的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin y,cos x,tan (x0)(2)定义2:设任意角的终边上任意一点P的坐标为(x,y),r|OP|,则sin ,cos ,tan (x0)5同角三角函数基本关系式sin2cos21;tan .6诱导公式记忆口诀奇变偶不变,符号看象限体系构建题型探究象限角及终边相同的角已知800.(1)把改写成2k(kZ,02)的形式,并指出是第几象限角;(2)求,使与的终边相同,且.解(1)8003360280,280,800(3)2.与角终边相同,是第四象限角(2)与终边相同的角可写为2k,kZ的形式,而与的终边相同,2k,kZ.又,2k,kZ,解得k1,2.规律方法1.灵活应用角度制或弧度制表示角(1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用(2)角度制与弧度制的换算设一个角的弧度数为,角度数为n,则rad,nrad.2象限角的判定方法(1)根据图象判定利用图象实际操作时,依据是终边相同的角的概念,因为0360之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系(2)将角转化到0360范围内在直角坐标平面内,0360范围内没有两个角终边是相同的跟踪训练1若角与角终边相同,则在0,2内终边与角终边相同的角是_. 【导学号:84352139】,由题意,得2k(kZ),(kZ)又0,2,所以k0,1,2,3,.弧度制下扇形弧长及面积公式的计算(1)如图11,ABC是正三角形,曲线CDEF叫做正三角形的渐开线,其中弧、弧、弧的圆心依次是A、B、C,如果AB1,那么曲线CDEF的长是_图11(2)一扇形的圆心角为2弧度,记此扇形的周长为c,面积为S,则的最大值为_(1)4(2)4(1)弧的长是,弧的长是:,弧的长是:2,则曲线CDEF的长是:24.(2)设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角大小为2弧度,则l2r,可求:cl2r2r2r4r,扇形的面积为Slrr22r2,所以2244.r时等号成立,所以的最大值为4. 规律方法弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l|r,扇形的面积公式是Slr|r2(其中l是扇形的弧长,是扇形的圆心角);(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.跟踪训练2如图12,已知扇形AOB的圆心角为120,半径长为6,求弓形ACB的面积. 【导学号:84352140】图12解120,l64,的长为4.S扇形OABlr4612,如图所示,作ODAB,有SOABABOD26cos 3039.S弓形ACBS扇形OABSOAB129.弓形ACB的面积为129.任意角三角函数的定义(1)若一个角的终边上有一点P(4,a),且sin cos ,则a的值为()A4B4C4或 D.(2)已知角的终边经过点P(12m,5m)(m0),求sin ,cos ,tan 的值. 【导学号:84352141】(1)C(1)因为角的终边上有一点P(4,a),所以tan ,所以sin cos ,整理得a216a160,(a4)(a4)0,所以a4或.(2)r13|m|,若m0,则r13m,为第四象限角,sin ,cos ,tan .若m0,则r13m,为第二象限角,sin ,cos ,tan .规律方法利用定义求三角函数值的两种方法(1)先由直线与单位圆相交求出交点坐标,再利用正弦、余弦、正切函数的定义,求出相应的三角函数值.(2)取角的终边上任意一点P(a,b)(原点除外),则对应的角的正弦值sin ,余弦值cos ,正切值tan .当角的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 跟踪训练3如果点P(sin cos ,2cos )位于第三象限,试判断角所在的象限. 【导学号:84352142】解因为点P(sin cos ,2cos )位于第三象限,所以sin cos 0,2cos 0,即所以角在第二象限.同角三角函数基本关系和诱导公式的应用(1)已知sin()2cos(3)0,则_.(2)已知f().化简f();若f(),且,求cos sin 的值;若,求f()的值. 【导学号:84352143】思路探究先用诱导公式化简,再用同角三角函数基本关系求值(1)(1)由已知得sin 2cos 0,故tan 2,则.(2)f()sin cos .由f()sin cos 可知,(cos sin )2cos22sin cos sin212sin cos 12,又,cos sin ,即cos sin 0,cos sin .62,fcossincossincossin.母题探究:1.将本例(2)中“”改为“8”“”改为“0”求cos sin .解因为0,所以cos 0,sin 0且|cos |sin |,所以cos sin 0,又(cos sin )212sin cos 12,所以cos sin .2将本例(2)中的用tan 表示.解.规律方法1.牢记两个基本关系式sin2cos21及tan ,并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明在应用中,要注意掌握解题的技巧比如:已知sin cos 的值,可求cos sin .注意应用(cos sin )212sin cos .2诱导公式可概括为k(kZ)的各三角函数值的化简公式记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限
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