第8章 其它类型的数字滤波器,8.1 几种特殊的滤波器 8.2 格型滤波器 8.3 简单整系数数字滤波器 8.4 采样率转换滤波器,8.1 几种特殊的滤波器,8.1.1 全通滤波器 如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或 1， 即 |H(e j)|=1, 02 (8.1.1) 则该滤波器称为全通滤波器。 全通滤波器的频率响应函数可表示成 H(e j)=e j() (8.1.2),全通滤波器的系统函数一般形式如下式：,(8.1.3),或者写成二阶滤波器级联形式：,(8.1.4),下面证明(8.1.3)式表示的滤波器具有全通幅频特性。,(8.1.5),式中，,由于系数ak是实数， 所以,图 8.1.1 全通滤波器一组=零极点示意图,观察图 8.1.1， 如果将零点zk和极点p*k组成一对， 将零点z*k与极点pk组成一对， 那么全通滤波器的极点与零点便以共轭倒易关系出现， 即如果z-1k为全通滤波器的零点， 则z*k必然是全通滤波器的极点。 因此， 全通滤波器系统函数也可以写成如下形式：,(8.1.6),8.1.2 梳状滤波器 例如， , 0a1， 零点为 1， 极点为a, 所以H(z)表示一个高通滤波器。 以zN代替H(z)的z， 得到：,(8.1.7),图 8.1.2 梳状滤波器 的零极点分布和幅频响应特性(N=8),8.1.3 最小相位系统 最小相位系统在工程理论中较为重要， 下面给出最小相位系统的几个重要特点。 (1) 任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联而成， 即 H(z)=Hmin(z)Hap(z) (8.1.8) 证明 假设因果稳定系统H(z)仅有一个零点在单位圆外， 令该零点为z=1/z0, | z0 |1, 则H(z)可表示为,(8.1.9),(2) 在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集 中， 最小相位系统的相位延迟(负的相位值)最小。 高阶全通系统总可以由一阶和二阶全通系统函数 相乘来表示。 一阶和二阶全通系统的系统函数分别如 (8.1.10)和(8.1.11)式：, 对(8.1.10)式，,(8.1.10),(8.1.11),其中a为实数， 且|a|1；,图 8.1.3 一阶全通系统具有非正=相位的几何证明图,由于上式中分数部分的分子、 分母是共轭的， 因此相角相反， 所以 argHap(e j)=-2 arg(e j -a) 对 0， 关于arg(e j -a)作图如图 8.1.3 所示， 图中=arg(e j -a)。; 由图 8.1.3可见，, 对(8.1.11)式，,故,画出上式中的各相角如图 8.1.4 所示。 图中 1=arg(ej -a)， 2=arg(ej-a*)。 由图可看出，,根据三角形外角大于内角的定理有,图 8.1.4 二阶全通系统具有非正=相位的几何证明图,由(8.1.8)式有,由初值定理可得出,由于,对因果稳定系统， |ai|1, 所以 |h(0)|hmin(0)| (8.1.12) (8.1.12)式说明， 在幅频特性相同的所有因果稳定系统集中， 最小相位系统对(n)的响应波形延迟最小。 如果定义h(n)的积累能量E(m)为,则最小相位系统的最小能量延迟可用(8.1.13)式 ， 即。,由于|H(e j)|=|Hmin(e j)|, 即,由parseval定理有,(3) 最小相位系统保证其逆系统存在。 给定一个 因果稳定系统H(z)=B(z)/A(z)， 定义其逆系统为,(8.1.14),8.2 格型滤波器,8.2.1 全零点格型滤波器 一个M阶的FIR滤波器的系统函数H(z)可写成如下形式：,(8.2.1),其中， b(i)M表示M阶FIR滤波器的第i个系数， 并假设首项系数b0=1。 H(z)对应的格型结构如图 8.2.1 所示。,图 8.2.1 全零点格型滤波器网络结构,图 8.2.2 全零点格型结构=基本单元,下面推导由H(z)=B(z)的系数bi求出格型结构网络系数ki的逆推公式。图 8.2.2 所示基本格型单元的输入、 输出关系如下式： em(n)=e m-1 (n)+r m-1(n-1)km (8.2.2a) rm (n)=e m-1 (n)km+rm-1 (n-1) (8.2.2b) 且 e0(n)=r0 (n)=x(n) (8.2.2c) y(n)=em (n) (8.2.2d),设Bm(z), Jm(z)分别表示由输入端x(n)至第m个基本单元上、 下输出端em(n)、 rm(n)对应的系统函数， 即,(8.2.3a),(8.2.3b),当m=M时， Bm(z)=B(z)。 对(8.2.2)式两边进行Z变换得,(8.2.4a),(8.2.4b),对(8.2.4a)和(8.2.4b)式分别除以E0(z)和R0(z)， 再由(8.2.3a)和(8.2.3b)式有,(8.2.5),(8.2.6),由(8.2.3)式有B0(z)=J0(z)=1, 所以,令m=2, 3, :, M， 可推出,(8.2.7),将上式分别代入(8.2.5)和(8.2.6)式得,(8.2.8a),(8.2.8b),下面导出km与滤波器系数b(m)m之递推关系。 将(8.2.3a)式代入(8.2.8a)及(8.2.8b)式， 利用待定系数法可得到如下两组递推关系：,(8.2.9),(8.2.10),例 8.2.1 FIR滤波器由如下差分方程给定：,求其格型结构系数， 并画出格型结构图。 解 对差分方程两边进行Z变换的H(z)=B3(z)：,图 8.2.3 H(z)的格型结构流图,8.2.2 全极点(IIR)格型滤波器 IIR滤波器的格型结构受限于全极点系统函数， 可以根据FIR格型结构开发。 设一个全极点系统函数由下式给定：,(8.2.12),图 8.2.4 全极点(IIR)滤波器格型结构,例 8.2.2 设全极点IIR滤波器系统函数为 求其格型结构网络系数， 并画出格型结构。,解,由例 8.2.1 所求FIR格型结构网络系数：,图 8.2.5 例 8.2.2 中的IIR格型结构,8.3 简单整系数数字滤波器,8.3.1 建立在多项式拟合基础上的简单整系数滤波器 1. 多项式拟合的基本概念 设序列x(n)中的一组数据为x(i), i=-M, :, 0, :, M， 我们可以构造一个p阶多项式fi来拟和这一组数据x(i):,总的拟合误差为,(8.3.1),(8.3.2),为了使拟合满足最小均方误差准则， 令E对各系数的导数为零， 即令,则(8.3.3)式可写成如下形式：,(8.3.3),(8.3.4),2.最佳拟合模板与简单整系数FIR滤波器的单位脉冲响应h(n) 在实际应用中， 并不将fi的p+1 个系数全求出来， 而是只求出a0, 就可实现对x(n)的最佳拟合。 由(8.3.1)式可知， 例如， 当M=2, p=2 时， 为五点二次(抛物线)多项式拟合。 据(8.3.4)式， 并考虑当k+r=奇数时sk+r=0， 有,(8.3.5),其中， 代入上式可得,(8.3.6),(8.3.7),(8.3.8),图 8.3.1 低通滤波器幅频特性 (a) M=2, p=2; (b) M=3, p=3,8.3.2 建立在零极点对消基础上的简单整系数滤波器 如前所述， 在单位圆上等间隔分布N个零点， 则构成“梳状滤波器”。 如果在z=1 处再设置一个极点， 对消该处的零点， 则构成低通滤波器， 其系统函数和频率响应函数分别为,(8.3.9a,(8.3.9b),图 8.3.2 低通滤波器零、 极点分布及幅频特性(N=10) (a) (8.3.9a)式的零、 极点分布图； (b) (8.3.9b)式的幅频特性,基于同样的思想， 在z=-1 处设置一个极点对消该处的零点， 则构成高通滤波器， 其系统函数及频率响应函数分别为,(8.3.10a),(8.3.10b),图 8.3.3 高通滤波器零、 极点分布及幅频特性 (a) (8.3.10a)式零、 极点分布； (b) 幅频特性,假设我们要求带通滤波器的中心频率为0， 0 0 ， 应当在z=ej0和z= e-j0处设置一对共轭极点， 则带通滤波器的系统函数和频响函数为,(8.3.11a),(8.3.11b),图 8.3.4 带通滤波器零、 极点分布及幅频特性(N=12, 0=/6) (a) (8.3.11a)式的零、 极点分布； (b) 幅频特性曲线,例如， 取理想全通滤波器频响为 HAP(e j)=ce -jm, m为正整数， c为常数 要从HBP(ej)中减去带通滤波器HBP (ej)时， 二者的相位特性必须一致。 为此， HBP(z)取为如下形式(若取(8.3.11a)式， 存在一常数相移/2)：,(8.3.12a),相应的频响函数为,(8.3.12b),取HAP(ej)中的m=N/2-1即可满足相位特性一致条件， 带阻滤波器的系统函数和频响函数分别为,(8.3.13a),(8.3.13b),(8.3.14),例 8.3.1 设计一个简单整系数低通滤波器， 要求f60 Hz时， 衰减不大于 3 dB， 阻带最大衰减s=40 dB， 采样频率fs=1200 Hz。 解 由(8.3.9b)和(8.3.14)式知道,(8.3.15),式中有两个未知数N和k。 由已知条件可知： 通带边界频率fp=60 Hz， ap=3 dB， 相应的数字滤波器的 3 dB通带边界频率为,为了书写简单， 令,(8.3.16),(8.3.17),(8.3.18),当N较大时， sin(3/2N)3/2N， 所以， 可用 3/2N代替sin(3/2N)， 得到:,频响的主瓣宽度由N确定， 当p给定时， p与 主瓣宽度有关。 所以， 为了求得N值， 应利用下式：,当p很小时， sin(p/2) p /2， 并令N p /2=x， 则,因为在p处sinx/x恒为正， 所以有,将sinx/x展开成台劳级数：,仅取前两项近似得,代入p=3 dB, k=3, 解出x=0.8078, N=5.14， 取N=6， 所求低通滤波器系统函数为,(8.3.19),可求出|HLP(ej0)|=216， 如果希望|HLP(ej0)|=1, 则取,例 8.3.2 在信号采集时， 往往会受到 50 Hz电源频率干扰， 现希望设计一个整系数 50 Hz陷波器， 滤除 50 Hz干扰。 要求陷波器阻带尽量窄， 最好在 50 Hz2 Hz以内， 而通带应尽量平坦。 给定采样频率 fs=400 Hz， 试设计该陷波器。,解 由前述可知， 这类整系数陷波器要用一个全通滤波器减去一个带通滤波器实现。 所以， 该题的关键是设计一个满足要求的带通滤波器。 如前述， 带通滤波器的系统函数应取(8.3.12a)式的形式：,(8.3.20),由于第一个极点z=ej/4一定是HBP(z)的一个零点， 所以将其代入(8.3.20)式分子中， 应有,为整数,所以， N/4=2l+1, N=4(2l+1), 即N应是 4 的奇数倍， 即,(8.3.21a),(8.3.21b),其频响函数为,(8.3.24a),(8.3.24b),图 8.3.5 50 Hz数字陷波器幅频特性 (a) l=50, k=1; (b) l=24, k=1; (c) l=24, k=2,8.4 采样率转换滤波器,8.4.1 信号