第2章 时域离散信号和系统的频域分析,2.1 引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,2.1 引言,我们知道信号和系统的分析方法有两种， 即时域分析方法和频率分析方法。 在模拟领域中， 信号一般用连续变量时间t的函数表示， 系统则用微分方程描述。 为了在频率域进行分析， 用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。 而在时域离散信号和系统中， 信号用序列表示， 其自变量仅取整数， 非整数时无定义， 而系统则用差分方程描述。,频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。 其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换， 它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的， 但都是线性变换， 很多性质是类似的。 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换， 以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。 本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。,2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质,2.2.1 序列傅里叶变换的定义 定义,(2.2.1),为序列x(n)的傅里叶变换， 可以用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。 FT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件， 即满足下式：,(2.2.2),为求FT的反变换， 用e jn乘(2.2.1)式两边， 并在 -内对进行积分， 得到,(2.2.3),(2.2.4),式中,因此,上式即是FT的逆变换。 (2.2.1)和(2.2.4)式组成一对傅里叶变换公式。 (2.2.2)式是FT存在的充分必要条件， 如果引入冲激函数， 一些绝对不可和的序列， 例如周期序列， 其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来， 这部分内容在下面介绍。,例 2.2.1 设x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT,解：,(2.2.5),设N=4， 幅度与相位随变化曲线如图2.2.1所示。,图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线,2.2.2 序列傅里叶变换的性质 1. FT的周期性 在定义(2.2.1)式中， n取整数， 因此下式成立,M为整数(2.2.6),因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数， 周期是2。 这样X(ej)可以展成傅里叶级数， 其实(2.2.1)式已经是傅里叶级数的形式， x(n)是其系数。,图 2.2.2 cosn的波形,2. 线性,那么,设,式中a, b为常数 3. 时移与频移 设X(e j)=FTx(n)， 那么,(2.2.7),(2.2.8),(2.2.9),4. FT的对称性 在学习FT的对称性以前， 先介绍什么是共轭对称与共轭反对称以及它们的性质。 设序列xe(n)满足下式： xe(n)=x*e(-n) (2.2.10) 则称xe(n)为共轭对称序列。 为研究共轭对称序列具有什么性质， 将xe(n)用其实部与虚部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n) 将上式两边n用-n代替， 并取共轭， 得到 x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n),对比上面两公式， 左边相等， 因此得到 xer(n)=xer(-n) (2.2.11) xei(n)=-xei(-n) (2.2.12) 由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数， 而虚部是奇函数。 类似地， 可定义满足下式的称共轭反对称序列 xo(n)=-x*o(-n) (2.2.13),将x0(n)表示成实部与虚部如下式： xo(n)=xor(n)+jxoi(n) 可以得到 xor(n)=-xor(-n) (2.2.14) xoi(n)-xoi(-n) (2.2.15) 即共轭反对称序列的实部是奇函数， 而虚部是偶函数。,例 2.2.2 试分析x(n)=e jn的对称性 解： 将x(n)的n用-n代替， 再取共轭得到： x*(-n)= e jn 因此x(n)=x*(-n)， 满足(2.2.10)式， x(n)是共轭对称序列， 如展成实部与虚部， 得到 x(n)=cosn+j sinn 由上式表明， 共轭对称序列的实部确实是偶函数， 虚部是奇函数。,对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示， 即 x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.16) 式中xe(n), xo(n)可以分别用原序列x(n)求出， 将(2.2.16)式中的n用-n代替， 再取共轭得到 x*(-n)=xe(n)-xo(n) (2.2.17) 利用(2.2.16)和(2.2.17)两式， 得到,(2.2.18),(2.2.19),利用上面两式， 可以分别求出xe(n)和xo(n)。 对于频域函数X(ej)也有和上面类似的概念和结论： X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) (2.2.10) 式中Xe(ej)与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分， 它们满足 Xe(ej) =X*e(e-j) (2.2.21) Xo(ej) =-X*o(e-j) (2.2.22) 同样有下面公式满足：,(2.2.23),(2.2.24),(a) 将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n) x(n)=xr(n)+jxi(n) 将上式进行FT， 得到 X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j),式中,上面两式中， xr(n)和xi(n)都是实数序列， 容易证明Xe(ej)满足(2.2.21)式， 个有共轭对称性， 它的实部是偶函数， 虚部是奇函数。 Xo(ej)满足(2.2.22)式， 具有共轭反对称性质， 其实部是奇函数， 虚部是偶函数。,最后得到结论： 序列分成实部与虚部两部分， 实部对称的FT具有共轭对称性， 虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。 (b) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即 x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.25) 将(2.2.18)式和(2.2.19)式重定如下：,将上面两式分别进行FT， 得到 FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej) FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=jXI(ej) 因此对(2.2.25)式进行FT得到： X(ej)=XR(ej)+jXI(ej) (2.2.26),(2.2.26)式表示序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ej)， 而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部。,因为h(n)是实序列， 其FT只有共轭对称部分He(ej)， 共轭反对称部分为零。 H(ej)=He(ej) H(ej)=H*(e-j) 因此实序列的FT的实部是偶函数， 虚部是奇函数， 用公式表示为 HR(ej)=HR(e-j) HI(ej)=-HI(e-j),按照(2.2.18)和(2.2.19)式得到 h(n)=he(n)+ho(n) he(n)=1/2h(n)+h(-n) ho(n)=1/2h(n)-h(-n) 因为h(n)是实因果序列， 按照上面两式he(n)和ho(n)可以用下式表示：,(2.2.27),(2.2.28),实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 h(n)= he(n)u+(n) (2.2.29) h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)(n) (2.2.30),(2.2.31),例 2.2.3 x(n)=anu(n); 0a1; 求其偶函数xe(n) 和奇函数xo(n)。 解： x(n)=xe(n)+xo(n) 按(2.2.2)式得到,按照(2.2.28)式得到,图 2.2.3 例2.2.3图,5. 时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n), 则 Y(e j)=X(e j)H(e j) (2.2.32) 证明,令k=n-m,该定理说明， 两序列卷积的FT， 服从相乘的关系。 对于线性时不变系统输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应FT。 因此求系统的输出信号， 可以在时域用卷积公式(1.3.7)计算， 也可以在频域按照(2.2.32)式， 求出输出的FT， 再作逆FT求出输出信号。,6. 频域卷积定理 设y(n)=x(n)h(n) (2.2.33),7. 帕斯维尔(Parseval)定理,(2.2.34),帕斯维尔定理告诉我们， 信号时域的总能量等于频域的总能量。 要说明一下， 这里频域总能量是指|X(e j)|2在一个周期中的积分再乘以1/(2)。 最后， 表2.2.1综合了FT的性质， 这些性质在分析问题和实际应用中是很重要的。,表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质,2.3 周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式,2.3.1周期序列的离散傅里叶级数 设 是以N为周期的周期序列， 由于是周期性的， 可以展成傅里叶级数,(2.3.1),式中ak是傅里叶级数的系数。 为求系数ak， 将上 式两边乘以 ， 并对n在一个周期N中求和,(2.3.2)式的证明， 作为练习自己证明。 因此 上式中， k和n均取整数， 当k或者n变化时， 是周期为N的周期函数， 可表示成,(2.3.2),-k (2.3.3),取整数,上式中 也是一个以N为周期的周期序列， 称为 的离散傅里叶级数， 用DFS(Discrete Fourier Series)表示。 如对(2.3.4)式两端乘以 ， 并对k在一个周期中求和， 得到,同样按照(2.3.2)式， 得到,(2.3.5),将(2.3.4)式和(2.3.5)式重写如下：,(2.3.6)式和(2.3.7)式称为一对DFS。 (2.3.5)式表明将周期序列分解成N次谐波， 第k个谐波频率为k=(2/N)k, k=0, 1, 2 N-1， 幅度为 。 其波分量的频率是2/N， 幅度是 。 一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。,(2.3.6),(2.3.7),例 2.3.1设x(n)=R4(n)， 将x(n)以N=8为周期， 进 行周期延拓， 得到如图2.3.1(a)所示的周期序列 ， 周期为8， 求 的DFS。 解： 按照(2.3.4)式,其幅度特性 如图2.3.1(b)所示。,图 2.3.1 例2.3.1图,2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式 在模拟系统中， ， 其傅里叶变换是在=o处的单位冲激函数， 强度是2， 即,(2.3.8),对于时域离散系统中， x(n)=e jon， 2/o为 有理数， 暂时假定其FT的形式与(2.3.8)式一样， 也是 在=0处的单位冲激函数， 强度为2，但由于n取 整数， 下式成立,取整数,上式表示复指数序列的FT是在02r处的单位冲激函数，强度为2如科2.3.2所示。 但这种假定如果成立， 要求按照(2.2.4)式的逆变换必须存在， 且唯一等于 ， 下面进行验证， 按照(2.2.4)式,因此e j0n的FT为,(2.3.9),图 2.3.2 的 FT,观察