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86分项练11圆锥曲线1(2018大连模拟)设椭圆C:y21的左焦点为F,直线l:ykx(k0)与椭圆C交于A,B两点,则的值是()A2 B2 C4 D4答案C解析设椭圆的右焦点为F2,连接AF2,BF2,因为|OA|OB|,|OF|OF2|,所以四边形AFBF2是平行四边形,所以|BF|AF2|,所以|AF|BF|AF|AF2|2a4.2(2018洛阳统考)已知双曲线1(b0)的右焦点与抛物线y212x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A. B3 C5 D4答案A解析因为抛物线y212x的焦点坐标为,依题意得4b29,所以b25,所以双曲线的方程为1,所以其渐近线方程为yx,所以双曲线的一个焦点到渐近线的距离为.3(2018重庆模拟)已知抛物线y24x的焦点为F,以F为圆心的圆与抛物线交于M,N两点,与抛物线的准线交于P,Q两点,若四边形MNPQ为矩形,则矩形MNPQ的面积是()A16 B12 C4 D3答案A解析根据题意,四边形MNPQ为矩形,可得|PQ|MN|,从而得到圆心F到准线的距离与到MN的距离是相等的,所以M点的横坐标为3,代入抛物线方程,设M为x轴上方的交点,从而求得M(3,2),N(3,2),所以|MN|4,4,从而求得四边形MNPQ的面积为S4416.4(2018昆明模拟)已知抛物线C:y22px(p0),圆M:2y2p2,直线l:yk(k0),自上而下顺次与上述两曲线交于A1,A2,A3,A4四点,则等于()A. B. Cp D.答案B解析圆M:2y2p2的圆心为抛物线的焦点F,半径为p.直线l:yk过抛物线的焦点F.设A2(x1,y1),A4(x2,y2)不妨设k0,则x1.|A1A2|A1F|A2F|px1,|A3A4|A4F|A3F|px2.由 得k2x2p(k22)x0,所以x1x2,x1x2.所以 .5(2018江西省景德镇市第一中学等盟校联考)已知抛物线C:y22px(p0),过其焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,若3,且抛物线C上存在点M与x轴上一点N(7,0)关于直线l对称,则该抛物线的焦点到准线的距离为()A4 B5 C. D6答案D解析抛物线y22px(p0)的准线为l:x,如图所示,当直线AB的倾斜角为锐角时,分别过点A,B作APl,BQl,垂足为P,Q,过点B作BDAP交AP于点D,则|AP|AF|,|BQ|BF|,|AF|3|BF|AB|,|AP|BQ|AD|AF|BF|AB|,在RtABD中,由|AD|AB|,可得BAD60,APx轴,BADAFx60,kABtan 60,直线l的方程为y,设M点坐标为(xM,yM),由可得xMp,yM,代入抛物线的方程化简可得3p24p840,解得p6(负值舍去),该抛物线的焦点到准线的距离为6.6已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且F1PF2,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为()A. B.C1 D.答案B解析设椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的半实轴长为a2,半焦距为c,P为第一象限内的公共点,则解得|PF1|a1a2,|PF2|a1a2,所以4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos ,所以4c2(2)a(2)a,所以42,所以e1e2,故选B.7(2017全国)设A,B是椭圆C:1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120,则m的取值范围是()A(0,19,) B(0,9,)C(0,14,) D(0,4,)答案A解析方法一设椭圆焦点在x轴上,则0m3,点M(x,y)过点M作x轴的垂线,交x轴于点N,则N(x,0)故tanAMBtan(AMNBMN).又tanAMBtan 120,且由1,可得x23,则.解得|y|.又0|y|,即0,结合0m3解得0m1.对于焦点在y轴上的情况,同理亦可得m9.则m的取值范围是(0,19,)故选A.方法二当0m3时,焦点在x轴上,要使C上存在点M满足AMB120,则tan 60,即,解得03时,焦点在y轴上,要使C上存在点M满足AMB120,则tan 60,即,解得m9.故m的取值范围为(0,19,)故选A.8已知双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点(异于右顶点),PF1F2的内切圆与x轴切于点(2,0)过F2作直线l与双曲线交于A,B两点,若使|AB|b2的直线l恰有三条,则双曲线离心率的取值范围是()A(1,) B(1,2)C(,) D(2,)答案C解析|F1F2|2c(c2a2b2),设PF1F2的内切圆分别与PF1,F1F2,PF2切于点G,H,I,则|PG|PI|,|F1G|F1H|,|F2H|F2I|.由双曲线的定义知2a|PF1|PF2|F1G|F2I|F1H|F2H|,又|F1H|F2H|F1F2|2c,故|F1H|ca,|F2H|ca,所以H(a,0),即a2.注意到这样的事实:若直线l与双曲线的右支交于A,B两点,则当lx轴时,|AB|有最小值b2;若直线l与双曲线的两支各交于一点(A,B两点),则当ly轴时,|AB|有最小值2a,于是,由题意得b22a4,b2,c2,所以双曲线的离心率e.故选C.9(2018唐山模拟)已知P是抛物线y24x上任意一点,Q是圆2y21上任意一点,则|PQ|的最小值为_答案21解析设点P的坐标为,由圆的方程2y21,可得圆心坐标A,|PA|22m221212,|PA|2,Q是圆2y21上任意一点,|PQ|的最小值为21.10已知F1,F2分别是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,以F1F2为直径的圆交渐近线aybx于点P(P在第一象限),PF1交双曲线左支于Q,若Q是线段PF1的中点,则该双曲线的离心率为_答案1解析联立直线方程与圆的方程结合c2a2b2,且点P位于第一象限可得P(a,b),双曲线的左焦点为F1(c,0),则PF1的中点为Q,点Q在双曲线上,则1,整理可得c22ac4a20,即e22e40,解得e1,又双曲线的离心率e1,故e1.11(2018三明质检)已知中心是坐标原点的椭圆C过点,且C的一个焦点坐标为(2,0),则C的标准方程为_答案y21解析根据题意得椭圆的另一个焦点坐标是(2,0),则2a2,所以a,因为c2,所以b1,从而得到椭圆的标准方程为y21.12在平面直角坐标系xOy中,点M不与点O重合,称射线OM与圆x2y21的交点N为点M的“中心投影点”(1)点M(1,)的“中心投影点”为_;(2)曲线x21上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是_答案(1)(2)解析(1)|OM|2,|ON|1,所以,则N点坐标为.(2)双曲线x21的渐近线方程为yx,由“中心投影点”的定义知,中心投影点是单位圆上夹在两渐近线之间的与x轴相交的两段圆弧,一条渐近线的倾斜角为,因此弧长为21.13已知点F1,F2分别是双曲线C:x21(b0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|2|OP|,tanPF2F14,则双曲线C的半焦距的取值范围为_答案解析由|F1F2|2|OP|可得PF1F2为直角三角形,F1PF290,tanPF2F14,即|PF1|4|PF2|,|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,又|PF1|PF2|2a,可得|PF2|a,由(|PF2|2a)2|PF2|24c2化为(|PF2|a)22c2a22,可得c,又双曲线中ca1,所以双曲线C的半焦距的取值范围为.14(2018威海模拟)抛物线y22px(p0)的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个动点,线段PQ的中点为M,过M作抛物线准线的垂线,垂足为N,若|MN|PQ|,则PFQ的最大值为_答案解析如图所示,分别过P,Q作抛物线准线的垂线,垂足为A,B,设|PF|2a,|QF|2b,由抛物线定义,得|PF|PA|,|QF|QB|,在梯形ABQP中,2|MN|PA|QB|2a2b,|MN|ab.若PQ过焦点F,则|PQ|PF|QF|2a2b,又|MN|ab,且|MN|PQ|,2a2bab,ab0,显然不成立,PQ不过焦点F.|MN|PQ|,|PQ|ab,设PFQ,由余弦定理得,(ab)24a24b28abcos ,a2b22ab4a24b28abcos ,cos ,当且仅当ab时取等号,又(0,),0,PFQ的最大值为.
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