一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,第四节 一阶线性微分方程,下页,上页,首页,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),下页,上页,首页,2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,下页,上页,首页,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,下页,上页,首页,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,下页,上页,首页,解,例1,下页,上页,首页,例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,下页,上页,首页,所求曲线为,下页,上页,首页,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,二、伯努利方程,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,下页,上页,首页,求出通解后，将 代入即得,代入上式,下页,上页,首页,解,例 3,下页,上页,首页,伯努利方程,的解,原方程可写为：,令,， 则,从而,所以,于是,例4 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,下页,上页,首页,解,分离变量法得,所求通解为,下页,上页,首页,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,下页,上页,首页,三、小结,1.齐次方程,2.线性非齐次方程,3.伯努利方程,下页,上页,首页,思考题,求微分方程 的通解.,下页,上页,首页,思考题解答,下页,上页,首页,练 习 题,下页,上页,首页,下页,上页,首页,下页,上页,首页,练习题答案,下页,上页,首页,下页,上页,首页,