目 录,第四章积分及其应用,4.1 不定积分的概念和性质,微分学的基本问题：即已知一个函数 , 求它的导数,相反问题： 即已知某函数的导数 ， 求原来的函数 , 这就是原函数与不定积分问题,4.1 不定积分的概念和性质,一、不定积分的概念,设 在区间 内的有定义，如果存在函数 ，使对于任意的 ，都有,则称 是函数 在 上的一个原函数,4.1 不定积分的概念和性质,一、不定积分的概念,结论：1如果函数 有一个原函数，则 就有无穷多个原函数，且任何两个原函数之间仅差一个常数,2 如果函数 是 的一个原函数，则 也是 的原函数，且 的所有原函 数都具有 的形式（C为任意常数）。,4.1 不定积分的概念和性质,原函数与不定积分的关系：,一、不定积分的概念,【例】,一、不定积分的概念,计算下列不定积分,解(1),(2),4.1 不定积分的概念和性质,“导数”与“积分”有下述转化关系:,4.1 不定积分的概念和性质,二、基本积分公式,4.1 不定积分的概念和性质,二、基本积分公式,4.1 不定积分的概念和性质,二、基本积分公式,4.1 不定积分的概念和性质,二、基本积分公式,4.1 不定积分的概念和性质,4.1 不定积分的概念和性质,【例2】 求,【注意】当被积函数是用分式或根式的形式表示的幂函数时，应先将它化成 的形式，然后再应用幂函数的积分公式求不定积分,解,4.1 不定积分的概念和性质,【例3】 求,解,【例4】 求,解,4.1 不定积分的概念和性质,三、不定积分的性质,性质1,性质2,【例5】求,解,【注意】分项积分后，每个不定积分的结果都应有一个积分常数，但两个任意常数之和仍是任意常数，因此最后结果只要写一个任意常数即可,4.1 不定积分的概念和性质,【例6】 求,解,【例7】 求,解,4.1 不定积分的概念和性质,【例8】 求,解,直接积分法：对被积函数进行适当的恒等变形和化简后，再利用积分公式和性质直接求出不定积分的方法。,4.1 不定积分的概念和性质,【例9】 求,解,【注意】 检验积分计算是否正确，只需对积分结果求导，看它是否等于被积函数.若相等，积分结果是正确的，否则就是错误的.例如，要检查例9的结果是否正确，只需计算,就可以确定计算结果一定是正确的,4.1 不定积分的概念和性质,【案例1】（资本积累总量）某投资集团准备用现有资金投资一个项目，经过反复论证，其资本形成速度为 (单位：万元/年)如果原始资本积累为100（万元），试求资本总量函数及年后的资本积累总量,解设资本积累的总量函数为 ，则 ，故得,4.1 不定积分的概念和性质,4.1 不定积分的概念和性质,4.2不定积分的积分方法,利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性,在积分公式中，所有自变量换成任一(可微)函数 后，公式仍成立.,一、换元积分法,【定理1】,4.2不定积分的积分方法,4.2不定积分的积分方法,一、换元积分法,换元积分法：先“凑”成微分式，再作变量置换后求不定积分的方法，也称凑微分法。,求积分的一般步骤,【例1】求下列不定积分,解 令 则,4.2不定积分的积分方法,又如,一、换元积分法,4.2不定积分的积分方法,【例2】求,解 令 ，则 ，即 ，于是得,一、换元积分法,4.2不定积分的积分方法,【例3】求下列不定积分,又如:,于是得,解,4.2不定积分的积分方法,【例4】求,令,则,即,于是得,解,4.2不定积分的积分方法,注意：在对变量替换比较熟练后，可以不必写出新设的积分变量，而直接凑微分例如：,凑微分,变量代换,求积分,变量回代,此行可不写出来,【例5】求下列不定积分,4.2不定积分的积分方法,解,【例6】求,4.2不定积分的积分方法,思考: 如何计算?,解,【例7】求,4.2不定积分的积分方法,解,二、分部积分法,4.2不定积分的积分方法,二、分部积分法,4.2不定积分的积分方法,解决思路 利用函数乘积的求导法则，得到积分公式,或,这个公式叫作分部积分公式,它的作用在于把不易求的 化为比较容易求出的 来计算.,二、分部积分法,4.2不定积分的积分方法,应用公式的关键是将被积表达式 分成两部分：当一部分选作 ，则剩下的部分就是,分部积分法的一般步骤：,二、分部积分法,4.2不定积分的积分方法,【例9】求,解：若令,二、分部积分法,4.2不定积分的积分方法,【例10】求,解：令,二、分部积分法,4.2不定积分的积分方法,课堂练习 计算下列不定积分,二、分部积分法,4.2不定积分的积分方法,【例11】求,解：令,（可不写出）,二、分部积分法,4.2不定积分的积分方法,【例12】求,解：令,（此行可不写出）,4.2不定积分的积分方法,课堂练习 计算不定积分,思考:,4.3 定积分的概念和性质,复习导入,4.3定积分的概念和性质,新课引入,正方形、矩形、三角形、梯形、圆、椭圆等。,4.4 定积分的计算,新课引入,4.3定积分的概念和性质,4.5 反常积分,4.3定积分的概念和性质,上述图形的面积可归结为下列两个图形的面积之差，即 ,我们把这类几何图形定义为曲边梯形,4.5 反常积分,4.3定积分的概念和性质,一、 两个引例,曲边梯形是由连续曲线,所围成的平面图形,曲边梯形面积,与三条直线,如何求？,4.5 反常积分,4.3定积分的概念和性质,一、 两个引例,【引例1】曲边梯形的面积,显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,4.5 反常积分,4.3定积分的概念和性质,一、 两个引例,【引例1】曲边梯形的面积,解决步骤：,用分点,把区间a,b分成n个小区间,(1)分割,4.5 反常积分,4.3定积分的概念和性质,一、 两个引例,【引例1】曲边梯形的面积,(2)近似代替,4.5 反常积分,4.3定积分的概念和性质,一、 两个引例,【引例1】曲边梯形的面积,(4)取极限,(3)求和,4.5 反常积分,4.3定积分的概念和性质,一、 两个引例,【引例1】变速直线运动的路程,4.5 反常积分,4.3定积分的概念和性质,一、 两个引例,【引例2】变速直线运动的路程,解决步骤：,用分点,第i个小区间的长度记为,把时间区间a,b分成n个小区间,(1)分割,4.5 反常积分,4.3定积分的概念和性质,一、 两个引例,【引例2】变速直线运动的路程,(3)求和,(2)近似代替,(4)取极限,4.5 反常积分,4.3定积分的概念和性质,一、 两个引例,定积分概念的应用,2.变速直线运动的路程,1. 曲边梯形的面积,4.5 反常积分,4.3定积分的概念和性质,【定义1】,设函数 在区间 上有定义，在 中插入 个分点， 把区间分成 个小区间 每个小区间的长度依次为,二、 定积分的概念,4.5 反常积分,4.3定积分的概念和性质,【定义1】,在每个小区间 上任取一点 ，作乘积的和式 如果和式的极限 存在，则称这个极限值为函数 在 上的定积分记作 ，即,二、 定积分的概念,二、 定积分的概念,4.3 定积分的概念和性质,4.3定积分的概念和性质,二、 定积分的概念,说明,规定,定积分 只与被积函数和积分区间有关，与积分 变量用什么字母表示无关，即有,三、定积分的几何意义,定积分的值等于曲边梯形面积；,定积分的值等于曲边梯形面积的负值 .,4.3 定积分的概念和性质,三、定积分的几何意义,课堂练习 ：,（答案：12 ）,1利用定积分的几何意义计算 ,2利用定积分的几何意义计算 ,（答案： ）,4.3 定积分的概念和性质,四、 定积分的性质,性质2,4.3 定积分的概念和性质,四、 定积分的性质,性质3 ( 积分区间可加性),不论 相对位置如何，上式均成立,4.3 定积分的概念和性质,四、 定积分的性质,4.3 定积分的概念和性质,四、 定积分的性质,【例1】利用定积分的几何意义，求定积分,解 曲线 与直线 , ,4.3 定积分的概念和性质,4.4 定积分的计算,一、微积分基本公式,一、微积分基本公式,求定积分,所以，由牛顿莱布尼茨公式有,解,【例1】,4.4 定积分的计算,一、微积分基本公式,求定积分,【例2】,解,4.4 定积分的计算,一、微积分基本公式,求定积分,【例3】,解,【思考】求定积分与求不定积分的运算过程有什么异同之处？,4.4 定积分的计算,一、微积分基本公式,设 ，求,【例4】,解 由定积分对区间的可加性，有,4.4 定积分的计算,二、定积分的换元积分法,4.4 定积分的计算,【定理】,注意：换元必换限,；,二、定积分的换元积分法,4.4 定积分的计算,【例5】,；,计算,令,解,二、定积分的换元积分法,4.4 定积分的计算,【例6】,；,计算,解,二、定积分的换元积分法,4.4 定积分的计算,【例7】,；,计算,二、定积分的分部积分法,4.4 定积分的计算,；,设函数 ， 在区间 上具有连续导数，则,二、定积分的换元积分法,4.4 定积分的计算,【例8】,计算,解,解,二、定积分的换元积分法,4.4 定积分的计算,【例10】,；,计算,解,二、定积分的换元积分法,4.4 定积分的计算,【案例1】（广告销售）某商店利用媒体进行化妆品宣传，在做广告后第 天的化妆品销售变化率为 （件天），求该商店在广告宣传后10天内化妆品的销售量（件）,解从做广告开始到第10天结束，化妆品的累计销售量为,二、定积分的换元积分法,4.4 定积分的计算,【案例2】收入预测）中国人的收入正在逐年提高据统计，深圳2002年的人均年收入为21 914元。假设这个人均收入正以速度 （单位：元/年）增长,这里是从2002年年底开始算起的年数,估算2009年深圳的人均年收入是多少？,解设第 年深圳的人均年收入为 ,因 ，故由变化率求总改变量，得从2003年到2009这年间深圳人均年收入的总增长为,一、无穷区间上的广义积分,4.5 广义积分,?,由曲线 与 轴、 轴所“围成”的开口图形的面积A如何求？,一、无穷区间上的广义积分,4.5 广义积分,4.5 广义积分,【定义1】,一、无穷区间上的广义积分,4.5 广义积分,类似地，积分,称为函数 在区间 上的广义积分,把积分,一、无穷区间上的广义积分,4.5 广义积分,一、无穷区间上的广义积分,如果 的原函数为 ，若记 则三种无限区间的广义积分可形式上写成 用上述记号，省去了极限符号，书写更简便些但应注意， 要始终理解为求极限值,4.5 广义积分,一、无穷区间上的广义积分,【例1】求,解,解,4.5 广义积分,一、无穷区间上的广义积分,【例3】讨论积分 的敛散性,解 由定义知，,并且有,所以广义积分 发散,4.5 广义积分,二、无界函数的广义积分,此时也称广义积分收敛如果上述极限不存在，则称其发散,4.5 广义积分,二、无界函数的广义积分,类似地定义，,4.5 广义积分,二、无界函数的广义积分,【例4】求,解 因为 ，所以 是广义积分，于是得,4.5 广义积分,二、无界函数的广义积分,【例5】讨论积分 的收敛性,解 因为 ，所以 是广义积分，且有,故广义积分 发散，所以