专题37 数列 等差数列2 【考点讲解】一、具本目标：等差数列（1） 理解等差数列的概念.（2） 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系关系，并能用有关知识解决相应的问题.（4） 了解等差数列与一次函数的关系.二、知识概述：一）等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；.说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，成等差数列.4.等差数列的前和的求和公式：.5.要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别二）方法规律： 1等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；(2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;(3)通项公式：(为常数,) 是等差数列;(4)前项和公式： (为常数, ) 是等差数列;(5) 是等差数列是等差数列. 【答案】2.等差数列an的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10 【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得到a1+a106由等差数列的性质可得a1+a10a4+a7，进而可得答案【答案】123.在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_.【解析】由题意得：，所以，即所以.【答案】4.等差数列中，已知，则 【解析】由 得，于是，又。【答案】205设等差数列an的前n项和为Sn，若a4，a6是方程x28x+50的两根，那么S9（）A8B36C45D72【分析】由a4，a6是方程x28x+50的两根，得a4+a68，从而由此能求出结果【解析】因为等差数列an的前n项和为Sn，a4，a6是方程x28x+50的两根，所以a4+a68，所以【答案】B6等差数列an中，已知a70，a2+a100，则an的前n项和Sn的最小值为（）AS4BS5CS6DS7【分析】由等差数列通项公式推导出a70，a60，由此能求出an的前n项和Sn的最小值【解析】因为等差数列an中，已知a70，a2+a100，所以a2+a102a60，即a60，所以an的前n项和Sn的最小值为S6【答案】C7.等差数列和的前n项和分别为和，且，则等于（ ） A B C D【解析】由=，选D.【答案】D8已知等差数列an前n项和为，则下列一定成立的是（）Aa0Ba0Cc0Dc0【分析】由等差数列an前n项和为，求出前三项，由等差数列an中，2a2a1+a3，能求出结果【答案】D9.已知等差数列的前n项和为Sn，若m1，且，则m等于（ ）A38 B20 C10 D9【解析】因为，所以有，由知，所以.，所以有，选C.【答案】C10首项为正数，公差不为0的等差数列an，其前n项和为Sn，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（）若S100，则S2+S80；若S4S12，则使Sn0的最大的n为15；若S150，S160，则Sn中S8最大；若S7S8，则S8S9A1个B2个C3个D4个【分析】根据题意，由等差数列的性质分析4个式子，综合即可得答案本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力【答案】B11.已知一个数列的前项和为，并且。（1） 证明数列为等差数列（2） 并求出当为何值时，数列有最大或最小值，并求出此值【解析】证明：（1）由得，当两式相减整理得： 当时，所以再由：得=两式相减得： 所以原数列为首项为-3，公差为6的等差数列.（3） 将当时，有最小值是-312.为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如（）求；（）求数列的前1 000项和【解析】（）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（）因为所以数列的前项和为【答案】（）， ；（）1893.