? 02 ? ? 第二章 随机变量及其分布 ? 2.1 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 课时过关能力提升 基础巩固基础巩固 1.如果抛掷两枚骰子,所得点数之和为 ,那么 =4 表示的随机试验结果是( ) A.两枚都是 2 点 B.一枚是 3 点,另一枚是 1 点 C.两枚都是 4 点 D.一枚是 3 点,一枚是 1 点或两枚都是 2 点 解析:=4 表示两枚骰子的点数和为 4. 答案:D 2.某市每天查到违章驾车的辆数为 X;某网站中歌曲爱我中华一天内被点击的次数为 X; 一天内的温度为 X;射手对目标进行射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,用 X 表示该射手在 一次射击中的得分. 其中 X 是离散型随机变量的是( ) A.B. C.D. 解析:一天内的温度 X 变化的范围是连续的,无法逐一列出,它不是离散型随机变量,故选 B. 答案:B 3.设随机变量 X 的分布列为 P(X=i)=a,i=1,2,3,则 a 的值为( ) ( 1 3) A.1BCD . 9 13 .11 13 .27 13 解析:由分布列的性质可知 a=1.解得 a= ( 1 3 + 1 9 + 1 27) 27 13. 答案:D 4.设随机变量 等可能取值 1,2,3,n,若 P(0)=,则文娱队的人数为( ) 7 10 A.3B.4C.5D.6 解析:由题意可分两种情况: 文娱队中有 1 人既会唱歌又会跳舞,则有 1 人只会唱歌,4 人只会跳舞,共有 6 人,则 可能取值 为 0,1,P(0)=P(=1)=,舍去. 1 1 1 5 2 6 = 1 3 7 10 文娱队中有 2 人既会唱歌又会跳舞,则有 0 人只会唱歌,3 人只会跳舞,共有 5 人,则 可能取值 为 0,1,2, P(0)=P(=1)+P(=2)=,故适合题意.故选 C. 1 2 1 3 2 5 + 2 2 2 5 = 6 10 + 1 10 = 7 10 答案:C 3.若随机变量 X 的分布列如下表所示,则 a2+b2的最小值为( ) X=i0123 P(X=i) 1 4 a 1 4 b ABCD . 1 24 . 1 16 .1 8 .1 4 解析:由分布列性质可知,a+b= , 1 2 而 a2+b2 ( + )2 2 = 1 8. 答案:C 4.一次骨干教师培训中,共邀请了 15 位教师,其中男、女教师使用教材情况如下表. 版本人教 A 版人教 B 版 性别男教师女教师男教师女教师 人数6342 从中随机选 2 位代表发言. 记 X= 0,发言者中使用版教材的女教师至多1人, 1,发言者中使用版教材的女教师为2人. ? 则 X 的分布列为( ) A. X01 P 26 35 26 105 B. X01 P 26 105 1 105 C. X01 P 26 35 9 35 D. X01 P 104 105 1 105 解析:P(X=0)= 0 2 2 13 2 15 + 1 2 1 13 2 15 = 104 105. P(X=1)= 2 2 2 15 = 1 105. 答案:D 5.袋中有大小、形状、质地相同的 4 个红球,3 个黑球,从袋中任取 4 个球,取到 1 个红球得 1 分,取到 1 个黑球得 3 分,设得分为随机变量 ,则 P(6)= . 解析:取出的 4 个球中红球个数可能为 4,3,2,1,黑球相应的个数为 0,1,2,3,其分数为 =4,6,8,10. P(6)=P(=4)+P(=6) = 4 4 0 3 4 7 + 3 4 1 3 4 7 = 13 35. 答案: 13 35 6.某学校从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人作为元旦晚会的主持人,设随机变量 表示所选 3 人中女 生的人数,则 P(1)= . 解析:P(1)=1-P(=2)=1- 1 4 2 2 3 6 = 4 5. 答案: 4 5 7.已知离散型随机变量 X 的分布列 P(X=k)=,k=1,2,3,4,5,令 Y=2X-2,则 P(Y0)= . 15 解析:由已知 Y 取值为 0,2,4,6,8,且 P(Y=0)=,P(Y=2)=,P(Y=4)=,P(Y=6)=,P(Y=8)= 1 15 2 15 3 15 = 1 5 4 15 5 15 = 1 3. 则 P(Y0)=P(Y=2)+P(Y=4)+P(Y=6)+P(Y=8)= 14 15. 答案: 14 15 8.某次歌唱比赛,需要加试文化科学素质,每位参赛选手需加答 3 个问题,组委会为每位选手都备有 10 道不同的题目可供选择,其中有 5 道文史类题目,3 道科技类题目,2 道体育类题目.测试时,每位选手从 给定的 10 道题中不放回地随机抽取 3 次,每次抽取 1 道题,回答完该题后,再抽取下一道题目作答. (1)求某选手第二次抽到的不是科技类题目的概率; (2)求某选手抽到体育类题目数 的分布列. 解:(1)由题意可知某选手第二次抽到的不是科技类题目的概率 P= 1 7 1 6 2 10 + 1 3 1 7 2 10 = 7 10. (2) 的取值为 0,1,2,P(=0)=,P(=1)=,P(=2)= 3 8 3 10 = 7 15 1 2 2 8 3 3 3 10 = 7 15 2 2 1 8 3 3 3 10 = 1 15. 则 的分布列为 012 P 7 15 7 15 1 15 9.在一次购物抽奖活动中,假设某 10 张奖券中有一等奖券 1 张,可获价值 50 元的奖品;有二等奖券 3 张,每张可获价值 10 元的奖品;其余 6 张没有奖.某顾客从此 10 张奖券中任抽 2 张,求: (1)该顾客中奖的概率; (2)该顾客获得的奖品总价值 X 元的概率分布列. 解:(1)该顾客中奖,说明是从有奖的 4 张奖券中抽到了 1 张或 2 张.因为是等可能地抽取,所以该顾客 中奖的概率 P= 1 4 1 6+ 2 4 2 10 = 30 45 = 2 3. (2)依题意可知 X 的所有可能取值为 0,10,20,50,60,则 P(X=0)=, 0 4 2 6 2 10 = 1 3 P(X=10)=, 1 3 1 6 2 10 = 2 5 P(X=20)=, 2 3 2 10 = 1 15 P(X=50)=, 1 1 1 6 2 10 = 2 15 P(X=60)= 1 1 1 3 2 10 = 1 15. 所以,X 的分布列为 X010205060 P 1 3 2 5 1 15 2 15 1 15