第四章检测 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1 若方程 f(x)-2=0 在(-,0)内有解,则 y=f(x)的图像是( ) 解析:在 A,B,C,D 四个选项中只有 D 选项与直线 y=2 的交点在 y 轴左侧,即方程 f(x)-2=0 在(-,0)内 有解. 答案:D 2 函数 f(x)=10x3-80 的零点为( ) A.(2,0)B.(0,2)C.2D.0 解析:令 10x3-80=0,解得 x=2. 答案:C 3 无论 m 为何值时,函数 f(x)=x2-mx+m-2 的零点个数都为( ) A.2B.1C.0D.0 或 1 解析:因为 =(-m)2-4(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+40, 所以无论 m 为何值,x2-mx+m-2=0 都有两个不相等的实数根,故无论 m 为何值,所求零点个数都 为 2. 答案:A 4 方程 lg x+x-2=0 一定有解的区间是( ) A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 解析:令 f(x)=lg x+x-2. f(1)=-10, f(x)在(1,2)内必有零点. 答案:B 5 已知函数 f(x)与 g(x)的图像在 R 上连续不断,由下表知方程 f(x)=g(x)有实数解的区间是( ) x-10123 f(x) - 0.67 7 3.01 1 5.43 2 5.98 0 7.65 1 g(x ) - 0.53 0 3.45 1 4.89 0 5.24 1 6.89 2 A.(-1,0)B.(0,1) C.(1,2)D.(2,3) 解析:构造函数 F(x)=f(x)-g(x), 则由题意,F(0)=3.011-3.4510, 函数 F(x)=f(x)-g(x)有零点的区间是(0,1). 方程 f(x)=g(x)有实数解的区间是(0,1),故选 B. 答案:B 6 已知函数 f(x)=-log2x,实数 x0是函数 y=f(x)的零点,且 0f(x0)=0. 答案:A 7 若函数 y=f(x)在区间(-2,2)上的图像是连续不断的曲线,且方程 f(x)=0 在区间(-2,2)上仅有一个实 数根,则 f(-1)f(1)的值( ) A.大于 0B.小于 0 C.无法判断D.等于 0 答案:C 8 设函数 f(x)对 xR 都满足 f(3+x)=f(3-x),且方程 f(x)=0 恰有 6 个不同的实数根,则这 6 个实根之 和为( ) A.0B.9 C.12D.18 解析:由 f(3+x)=f(3-x)知,f(x)的图像关于 x=3 对称,方程 f(x)=0 的 6 个实根在 x 轴上的对应点关于直 线 x=3 对称,依次设为 3-t1,3-t2,3-t3,3+t1,3+t2,3+t3,故 6 个实根之和为 18. 答案:D 9 如图,在直角梯形 OABC 中,ABOC,AB=1,OC=BC=2,直线 l:x=t 截此梯形所得位于 l 左方图形 面积为 S,则函数 S=f(t)的图像大致为图中的( ) 解析:解析:式为 S=f(t) = 1 22,0 1, 1 2 1 2 + ( - 1) 2,1 0,所以 m=0 符合题意;当 m0 时,则函数 f(x)是 1 2 二次函数,=4-4m,若 0,所以 m=1 符合题意,若 0,即 m1D.00,分别画 y=和 y=|lg x|的图像发现在(0,1)和(1,+)有两个交点, ( 1 2) 不妨设 x1(0,1),x2(1,+), 那么在(0,1)上有=-lg x1,即-=lg x1, ( 1 2) 1 ( 1 2) 1 在(1,+)有-=lg x2, ( 1 2) 2 相加有=lg x1x2, ( 1 2) 2 (1 2) 1 x2x1, , ( 1 2) 2 0,f(1)0, ( 1 2) =(1 2) 3 ( 1 2) 2 所以下一步可断定方程的根所在的区间为. ( 1 2 ,1 ) 答案:( 1 2 ,1 ) 14 将长度为 1 的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆,要使正方形与圆的面积之和最小, 正方形的周长应为 . 解析:设正方形的周长为 x,则圆的周长为 1-x, 则正方形与圆的面积和为 S=+ ( 4) 2 ( 1 - 2) 2 =x2-x+(0 0, (3) 0, ? 即 - ( - 1)2- 2 + 4 + 1 0, - 3 2 + 2 3 + 4 + 1 0, ? 即解得 a . 2 0, 10 - 8 0, ? 4 5 故实数 a 的取值范围为. ( 4 5, + ) 20(12 分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过 15 万元时,按销售利润 的 10%进行奖励;当销售利润超过 15 万元时,若超过部分为 A 万元,则超出部分按 2log5(A+1)进行奖 励,没超出部分仍按销售利润的 10%进行奖励.记奖金总额为 y(单位:万元),销售利润为 x(单位:万元). (1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式; (2)如果业务员老张获得 5.5 万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元? 解(1)由题意,得 y= 0.1,0 15. ? (2)x(0,15时,0.1x1.5, 又 y=5.51.5, x15, 1.5+2log5(x-14)=5.5,解得 x=39. 即老张的销售利润是 39 万元. 21(12 分)已知 y=f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x0,+)时,f(x)=x2-2x. (1)写出函数 y=f(x)的解析式; (2)若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解,求 a 的取值范围. 解(1)当 x(-,0)时,-x(0,+), y=f(x)是奇函数, f(x)=-f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2-2x, f(x)= 2- 2, 0, - 2 - 2, 0. ? (2)当 x0,+)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1; 当 x(-,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为 1. 据此可作出函数 y=f(x)的图像,如图, 根据图像得, 若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解,则 a 的取值范围是(-1,1). 22(12 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流 速度 v(单位:km/h)是车流密度 x(单位:辆/km)的函数,当桥上的车流密度达到 200 辆/km 时,造成堵塞, 此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/km 时,车流速度为 60 km/h,研究表明:当 20x200 时, 车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0x200 时,求函数 v(x)的表达式. (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/h)f(x)=xv(x)可以 达到最大?并求出最大值.(精确到 1 辆/h) 解(1)由题意得,当 0x20 时,v(x)=60; 当 20x200 时,设 v(x)=ax+b(a0), 再由已知得 200 + = 0, 20 + = 60, ? 解得 = - 1 3, = 200 3 . ? 故函数 v(x)的表达式为 v(x)= 60,0 20, 1 3(200 - ),20 200. ? (2)由题意和第(1)问可得 f(x)= 60,0 20, 1 3(200 - ),20 200. ? 当 0x20 时,f(x)是增加的,故当 x=20 时,其最大值为 6020=1 200; 当 20x200 时,f(x)= x(200-x) 1 3 = -(x-100)2+10 000, 1 3 当 x=100 时,f(x)在区间(20,200上取得最大值. 10 000 3 综上可知,当 x=100 时,f(x)在区间0,200上取得最大值3 333. 10 000 3 即当车流密度为 100 辆/km 时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/h.