4 对对 数数 4.1 对数及其运算 第 1 课时 对数及其运算 课时过关能力提升 1 如果=b(a0 且 a1),则( ) A.2logab=1B.loga=b 1 2 C.loa=bD.lob=a 1 2 1 2 解析:由题意,=b(a0 且 a1),则=b,由对数的定义得, =logab,即 2logab=1.故选 A. 1 2 1 2 答案:A 2 若 102x=25,则 x 等于( ) A.lgB.lg 5 1 5 C.2lg 5D.2lg 1 5 解析:102x=25,2x=lg 25=2lg 5, 即 x=lg 5. 答案:B 3 已知 log3(log5a)=log4(log5b)=0,则 的值为( ) A.1B.-1 C.5D. 1 5 答案:A 4 已知,则 x=( ) 9 2 = 1 3 A.B. 1 2 2 2 C.2D. 2 解析:因为,所以=3-1, 9 2 = 1 33 22 即 2log2x=-1,所以 log2x=- , 1 2 解得 x=,故选 B. 2 2 答案:B 5 已知(x-2)2+(y-1)2=0,则 logx(yx)的值是( ) A.1B.0 C.xD.y 解析:因为(x-2)2+(y-1)2=0, 所以 x-2=0,y-1=0,所以 x=2,y=1. 所以 logx(yx)=log2(12)=log21=0. 答案:B 6 有以下四个结论:lg(lg 10)=0;lg(ln e)=0;若 e=ln x,则 x=e2;ln(lg 1)=0.其中正确的是( ) A.B. C.D. 解析:可根据对数、常用对数和自然对数的概念以及对数式与指数式的转化,对各结论进行判断.由于 1 的对数等于 0,底数的对数等于 1,所以可判断均正确;中应得到 x=ee,故错误;中由于 lg 1=0,而 0 没有对数,所以式不成立.综上可知,正确的结论是.故选 A. 答案:A 7 已知函数 f(3x)=log2,那么 f(1)的值为( ) 9 + 5 2 A.log2 B.2C.1D. 7 1 2 解析:f(3x)=log2=log2, 9 + 5 2 3(3) + 5 2 f(1)=log2=log22=1,故选 C. 3 1 + 5 2 答案:C 8 若 log2lg(ln x)=0,则 x= . 解析:因为 log2lg(ln x)=0, 所以 lg(ln x)=20=1, 所以 10=ln x,所以 x=e10. 答案:e10 9 若正数 a,b 满足 2+log2a=3+log3b=log6(a+b),则的值为 . 1 + 1 答案:108 10 求+103lg 3+的值. 3 1 + 36 2 4 + 23 ( 1 9) 34 解原式=31-24+(10lg 3)3+ 3 36 2 23 3 - 234 =36-163+33+()-2 3 34 =18-48+27+=-. 1 16 47 16 11 解下列关于 x 的方程: (1)log2(2x+1)=log2(3x); (2)log5(2x+1)=log5(x2-2). 解(1)由 log2(2x+1)=log2(3x), 得 2x+1=3x, 解得 x=1. 经检验,当 x=1 时,满足 2x+10,3x0, 故 x=1. (2)由 log5(2x+1)=log5(x2-2), 得 2x+1=x2-2, 即 x2-2x-3=0, 解得 x=-1 或 x=3. 经检验,当 x=-1 时,2x+10,x2-20,故 x=3. 12 设 M=0,1,N=lg a,2a,a,11-a,问是否存在 a,使得 MN=1? 解不存在 a,使得 MN=1成立. 理由如下:若 lg a=1,则 a=10,此时,11-a=1=lg a,这与集合中元素的互异性矛盾; 若 2a=1,则 a=0,此时 lg a 无意义; 若 a=1,则 lg a=0,此时 MN=0,1,与题设不符; 若 11-a=1,则 a=10,lg a=1=11-a,这与集合中元素的互异性矛盾. 综上所述,不存在 a,使得 MN=1.