2 空间向量的运算空间向量的运算(一一) 学习目标 1.了解空间向量的加减法及运算律.2.理解空间向量的数乘运算及运算律，并掌 握共线向量定理 知识点一 空间向量的加减法及运算律 思考 下面给出了两个空间向量 a，b，如何作出 ba，ba? 答案 如图，空间中的两个向量 a，b 相加时，我们可以先把向量 a，b 平移到同一个平面 内，以任意点 O 为起点作a，b，则 OA OB ab，ba. OC OA OB AB OB OA 梳理 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算 ab， OB OA AB ab CA OA OC 知识点二 空间向量的数乘运算及运算律 定义 与平面向量一样，实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量，称为 向量的数乘 0a 与向量 a 的方向相同 0a 与向量 a 的方向相反 几何 定义 0a0，其方向是任意的 a 的长度是 a 的长度的|倍 分配律(ab)ab 运算律 结合律(a)()a 注：在平面中，我们讨论过两个向量共线的问题，在空间中也有相应的结论 空间两个向量 a 与 b(b0)共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使得 ab. 1若 ab0，则 ab0.() 2设 R，若 ab，则 a 与 b 共线() 3.() OA OB AB 4直线 l 的方向向量为 a，若 a平面 ，则 l平面 .() 类型一 空间向量的加减运算 例 1 如图，已知长方体 ABCDABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化 简结果的向量 (1)； AA CB (2). AA AB BC 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 解 (1). AA CB AA DA AA AD AD (2)(). AA AB BC AA AB BC AB BC AC 向量，如图所示 AD AC 引申探究 利用本例题图，化简. AA AB BC CA 解 结合加法运算 ，0. AA AB AB AB BC AC AC CA 故0. AA AB BC CA 反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终 点的向量，即. A1A2 A2A3 A3A4 An1An A1An (2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为 0.如图， OB BC CD 0. DE EF FG GH HO 跟踪训练 1 在如图所示的平行六面体中，求证：2. AC AB AD AC 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算的应用 证明 平行六面体的六个面均为平行四边形， ， AC AB AD AB AB AA AD AD AA AC AB AD ()()() AB AD AB AA AD AA 2() AB AD AA 又， AA CC AD BC . AB AD AA AB BC CC AC CC AC 2. AC AB AD AC 类型二 共线问题 例 2 (1)已知向量 a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三 AB BC CD 点是( ) AA，B，DBA，B，C CB，C，DDA，C，D (2)设 e1，e2是空间两个不共线的向量，已知 e1ke2，5e14e2，e12e2，且 A，B，D 三点共线，实数 k_. AB BC DC 考点 线线、线面平行的判断 题点 线线平行的判断 答案 (1)A (2)1 解析 (1)因为3a6b3(a2b)3，故，又与有公 AD AB BC CD AB AD AB AD AB 共点 A， 所以 A，B，D 三点共线 (2)因为7e1(k6)e2， AD AB BC CD 且与共线，故x， AB AD AD AB 即 7e1(k6)e2xe1xke2， 故(7x)e1(k6xk)e20， 又e1，e2不共线， Error!Error!解得Error!Error!故 k 的值为 1. 反思与感悟 (1)判断向量共线的策略 熟记共线向量的充要条件：()若 ab，b0，则存在唯一实数 使 ab；()若存在 唯一实数 ，使 ab，b0，则 ab. 判断向量共线的关键：找到实数 . (2)证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点 P，A，B 可通过证明下列结论来证明三点共线 存在实数 ，使成立 PA PB 对空间任一点 O，有t(tR) OP OA AB 对空间任一点 O，有xy(xy1) OP OA OB 跟踪训练 2 如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，请判 断向量与是否共线？ EF AD BC 考点 线线、线面平行的判断 题点 线线平行的判断 解 设 AC 的中点为 G，连接 EG，FG， ， GF 1 2AD EG 1 2BC 又，共面， GF EG EF ()， EF EG GF 1 2BC 1 2AD 1 2 AD BC 与共线 EF AD BC 类型三 空间向量的数乘运算及应用 例 3 如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，设 a，b，c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1的中点，试用 a，b，c 表示以 AA1 AB AD 下各向量： (1)；(2)；(3). AP A1N MP NC1 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 解 (1) AP AD1 D1P ()ac b. AA1 AD 1 2AB 1 2 (2) A1N A1A AN AA1 AB 1 2AD ab c. 1 2 (3)()() MP NC1 MA1 A1D1 D1P NC CC1 1 2AA1 AD 1 2AB 1 2AD AA1 a b c. 3 2AA1 3 2AD 1 2AB 3 2 1 2 3 2 引申探究 若把本例中“P 是 C1D1的中点”改为“P 在线段 C1D1上，且 ” ，其他条件不变，如 C1P PD1 1 2 何表示？ AP 解 ac b. AP AD1 D1P AA1 AD 2 3AB 2 3 反思与感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则， 将目标向量转化为已知向量 (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质 跟踪训练 3 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 在 A1D1上，且2，F A1E ED1 在对角线 A1C 上，且. A1F 2 3FC 求证：E，F，B 三点共线 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 证明 设a，b，c. AB AD AA1 因为2， A1E ED1 A1F 2 3FC 所以， A1E 2 3A1D1 A1F 2 5A1C 所以 b， A1E 2 3AD 2 3 () () A1F 2 5 AC AA1 2 5 AB AD AA1 a b c， 2 5 2 5 2 5 所以 ab c EF A1F A1E 2 5 4 15 2 5 . 2 5(a 2 3bc) 又 bcaa bc， EB EA1 A1A AB 2 3 2 3 所以， EF 2 5EB 又因为与有公共点 E，所以 E，F，B 三点共线 EF EB 1.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的共有( ) AC1 ()； AB BC CC1 ()； AA1 A1D1 D1C1 ()； AB BB1 B1C1 (). AA1 A1B1 B1C1 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 D 解析 ()； AB BC CC1 AC CC1 AC1 ()； AA1 A1D1 D1C1 AD1 D1C1 AC1 ()； AB BB1 B1C1 AB1 B1C1 AC1 ()，故选 D. AA1 A1B1 B1C1 AB1 B1C1 AC1 2设有四边形 ABCD，O 为空间任意一点，且，则四边形 ABCD 是( ) AO OB DO OC A平行四边形B空间四边形 C等腰梯形D矩形 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算的应用 答案 A 解析 由，得，故四边形 ABCD 为平行四边形，故 AO OB AB DO OC DC AB DC 选 A. 3下列条件，能说明空间不重合的 A，B，C 三点共线的是( ) A.B. AB BC AC AB BC AC C.D| AB BC AB BC 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 C 解析 由知与共线，又因有一共同的点 B，故 A，B，C 三点共线 AB BC AB BC 4若非零空间向量 e1，e2不共线，则使 2ke1e2与 e12(k1)e2共线的 k 的值为 _ 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 1 2 解析 若 2ke1e2与 e12(k1)e2共线， 则 2ke1e2e12(k1)e2， Error!Error!k . 1