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章末检测试卷章末检测试卷(二二) (时间:120 分钟 满分:160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1椭圆1 的右焦点到直线 yx 的距离是_ x2 4 y2 3 3 3 答案 1 2 解析 椭圆1 的右焦点为(1,0), x2 4 y2 3 右焦点到直线x3y0 的距离 d . 3 3 39 1 2 2已知 F1,F2分别是椭圆1 的左、右焦点,弦 AB 过 F1,若ABF2的周长 x2 k2 y2 k1 为 8,则椭圆的离心率为_ 答案 1 2 解析 ABF2的周长为 4a,且 4a8,所以 a2, 得 k2,所以 b23, 所以 e . c a 43 2 1 2 3已知过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,AF2,则 BF_. 答案 2 解析 设点 A,B 的横坐标分别是 x1,x2, 则依题意有焦点 F(1,0),AFx112, x11,直线 AF 的方程是 x1,故 BFAF2. 4抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x21 的渐近线的距离是_ y2 3 答案 3 2 解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0),而双曲线的渐近线方程为 yx,所以所求距离 3 为. | 3 10| 13 3 2 5已知椭圆1(ab0)的焦点分别为 F1,F2,离心率为 .过 F1的直线交椭圆于 x2 a2 y2 16 3 5 A,B 两点,则ABF2的周长为_ 答案 20 解析 由椭圆定义知,ABF2的周长为 4a, 又 e ,即 c a,a2c2a2b216, c a 3 5 3 5 16 25 a5,ABF2的周长为 20. 6已知 F 为双曲线 C:1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点若 PQ 的长等于虚轴长 x2 9 y2 16 的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则PQF 的周长为_ 答案 44 解析 由题意,因为双曲线的右焦点(5,0)在线段 PQ 上,所以 P,Q 都在双曲线的右支上, 利用双曲线的定义得 FPPA6,FQQA6,两式相加,由 PAQAPQ2816, 得 FPFQ28,所以PQF 的周长为 FPFQPQ44. 7已知双曲线y21(a0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点重合,则此双曲线的渐近线 x2 a2 方程是_ 答案 yx 3 3 解析 y28x 焦点坐标是(2,0), 双曲线y21 的半焦距 c2,又虚半轴长 b1 且 a0,a, x2 a222123 双曲线的渐近线方程是 yx. 3 3 8已知双曲线1(a0,b0)的离心率等于 2,它的焦点到渐近线的距离等于 1,则 x2 a2 y2 b2 该双曲线的方程为_ 答案 3x2y21 解析 由题意可得 e 2,则 c2a,设其一焦点为 F(c,0),渐近线方程为 bxay0, c a 那么 db1, bc b2a2 bc c 而 c24a2a2b2,解得 a2 , 1 3 则所求的双曲线方程为 3x2y21. 9已知两定点 A(1,1),B(1,1),动点 P 满足,则点 P 的轨迹方程为 PA PB x2 2 _ 答案 1 x2 4 y2 2 解析 设点 P(x,y),则(1x,1y), PA (1x,1y) PB 所以(1x)(1x)(1y)(1y) PA PB x2y22. 由已知得 x2y22,即1. x2 2 x2 4 y2 2 10已知椭圆1 的两个焦点分别为 F1,F2,且椭圆上的一点 P 到椭圆一个焦点的 x2 25 y2 16 距离为 3,则PF1F2的面积为_ 答案 4 5 解析 点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a10, 不妨记 PF13,则 PF27,又 2c6, 所以 cosPF2F1, 726232 2 6 7 19 21 从而可得 sinPF2F1, 4 5 21 所以 67sinPF2F14. 12 PF PF S 1 25 11已知椭圆 C:1(ab0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两点, x2 a2 y2 b2 连结 AF,BF.若 AB10,BF8,cosABF ,则 C 的离心率为_ 4 5 答案 5 7 解析 在ABF 中,AF2AB2BF22ABBFcosABF102822108 36,则 4 5 AF6.由 AB2AF2BF2可知,ABF 是直角三角形,OF 为斜边 AB 的中线, cOF5.设椭圆的另一焦点为 F1,因为点 O 平分 AB,且平分 FF1,所以四边形 AB 2 AFBF1为平行四边形,所以 BFAF18.由椭圆的性质可知 AFAF1142a,所以 a7,则 e . c a 5 7 12已知椭圆1(ab0)的离心率等于 ,其焦点分别为 A,B,C 为椭圆上异于长 x2 a2 y2 b2 1 3 轴端点的任意一点,则在ABC 中,的值等于_ sinAsinB sinC 答案 3 解析 在ABC 中,由正弦定理得,因为点 C 在椭圆上,所以由椭圆 sinAsinB sinC CBCA AB 定义知 CACB2a,而 AB2c,所以 3. sinAsinB sinC 2a 2c 1 e 13已知抛物线 y2px2(p0)的焦点为 F,点 P在抛物线上,过点 P 作 PQ 垂直于抛 (1, 1 4) 物线的准线,垂足为点 Q,若抛物线的准线与对称轴相交于点 M,则四边形 PQMF 的面积 为_ 答案 13 8 解析 由 P在抛物线上,得 p ,故抛物线的标准方程为 x24y,焦点 F(0,1),准线 (1, 1 4) 1 8 为 y1, FM2,PQ1 ,MQ1, 1 4 5 4 则直角梯形 PQMF 的面积为 1. 1 2 ( 5 42) 13 8 14给出如下四个命题:方程 x2y22x10 表示的图形是圆;椭圆1 的 x2 3 y2 2 离心率 e;抛物线 x2y2的准线方程是 x ;双曲线1 的渐近线方 5 3 1 8 y2 49 x2 25 程是 y x.其中所有不正确命题的序号是_ 5 7 答案 解析 表示的图形是一个点(1,0);e;正确;渐近线方程为 y x. 3 3 7 5 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15(14 分)已知椭圆的中心在原点,且经过点 P(3,0),离心率 e,求椭圆的标准方 2 2 3 程 解 (1)当焦点在 x 轴上时,设其方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 离心率 e, . 2 2 3 c a 2 2 3 又a2b2c2,a3b. 又椭圆经过点 P(3,0), 1,a29,b21. 9 a2 0 b2 椭圆的标准方程为y21. x2 9 (2)当焦点在 y 轴上时, 设其方程为1(ab0) y2 a2 x2 b2 同理可得 a3b. 又椭圆经过点 P(3,0),1, 0 a2 9 b2 b29,b3,a9. 椭圆的标准方程为1. y2 81 x2 9 综上,椭圆的标准方程为y21 或1. x2 9 y2 81 x2 9 16(14 分)求与椭圆1 有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程,并且求出这条 x2 144 y2 169 双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程 解 椭圆1 的焦点是(0,5),(0,5),焦点在 y 轴上, x2 144 y2 169 于是设双曲线方程是1(a0,b0), y2 a2 x2 b2 又双曲线过点(0,2),c5,a2, b2c2a225421, 双曲线的标准方程是1,实轴长为 4, y2 4 x2 21 焦距为 10,离心率 e , c a 5 2 渐近线方程是 yx. 2 21 21 17(14 分)中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点 F1,F2,且 F1F22 ,椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为 4,离心率之比为 37,求这两条曲线的方 13 程 解 设椭圆的方程为1,双曲线的方程为1,焦距 2c2, x2 a2 1 y2 b2 1 x2 a2 2 y2 b2 213 由已知得 a1a24,37, c a1 c a2 解得 a17,a23,c, 13 所以 b 36,b 4,所以两条曲线的方程分别为 2 12 2 1,1. x2 49 y2 36 x2 9 y2 4 18(16 分)已知直线 yx4 被抛物线 y22mx(m0)截得的弦长为 6,求抛物线的标准 2 方程 解 设直线与抛物线的交点为(x1,y1),(x2,y2) 由Error!得 x22(4m)x160, 4(4m)2640, 所以 x1x22(4m),x1x216, 所以弦长为 x1x22y1y221k2x1x22 2. 244m24 162m28m 由 26,解得 m1 或 m9. 2m28m2 经检验,m1 或 m9 均符合题意且满足 0. 所以所求抛物线的标准方程为 y22x 或 y218x. 19(16 分)已知椭圆 C 的左,右焦点坐标分别是(,0),(,0),离心率是,直线 22 6 3 yt 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,以线段 MN 为直径作圆 P,圆心为 P. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标 解 (1)因为 ,且 c, c a 6 32 所以 a,b1, 3a2c2 所以椭圆 C 的方程为y21. x2 3 (2)由题意知 P(0,t)(1b0)上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1, x2 a2 y2 b2 且它的长轴的一个端点 A 与短轴的一个端点 B 的连线 AB 平行于 OM. (1)求椭圆的离心率; (2)设 Q 是椭圆上任一点,F2是椭圆的右焦点,求F1QF2的取值范围 解 (1)依题意知 F1点坐标为(c,0), 设 M 点坐标为(c,y) 若 A 点坐标为(a,0),则 B 点坐标为(0,b), 则直线 AB 的斜率 k. b a (A点坐标为a,0,B点坐标为0,b时,同样有k b a ) 则有,y. y c b a bc a 又点 M 在椭圆1 上,1. x2 a2 y2 b2 c2 a2 y2 b2 由得 , , c2 a2 1 2 c a 2 2 即椭圆的离心率为. 2 2 (2)设 QF1m,QF2n,F1QF2, 则 mn2a,F1F22c. 在F1QF2中,cos m2n24c2 2mn 110. mn22mn2a2 2mn a2 mn a2 ( mn 2 )2 当且仅当 mn
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