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章末检测试卷(二)(时间:120分钟满分:160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1椭圆1的右焦点到直线yx的距离是_答案解析椭圆1的右焦点为(1,0),右焦点到直线x3y0的距离d.2已知F1,F2分别是椭圆1的左、右焦点,弦AB过F1,若ABF2的周长为8,则椭圆的离心率为_答案解析ABF2的周长为4a,且4a8,所以a2,得k2,所以b23,所以e.3已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,AF2,则BF_.答案2解析设点A,B的横坐标分别是x1,x2,则依题意有焦点F(1,0),AFx112,x11,直线AF的方程是x1,故BFAF2.4抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是_答案解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0),而双曲线的渐近线方程为yx,所以所求距离为.5已知椭圆1(ab0)的焦点分别为F1,F2,离心率为.过F1的直线交椭圆于A,B两点,则ABF2的周长为_答案20解析由椭圆定义知,ABF2的周长为4a,又e,即ca,a2c2a2b216,a5,ABF2的周长为20.6已知F为双曲线C:1的左焦点,P,Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则PQF的周长为_答案44解析由题意,因为双曲线的右焦点(5,0)在线段PQ上,所以P,Q都在双曲线的右支上,利用双曲线的定义得FPPA6,FQQA6,两式相加,由PAQAPQ2816,得FPFQ28,所以PQF的周长为FPFQPQ44.7已知双曲线y21(a0)的右焦点与抛物线y28x的焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是_答案yx解析y28x焦点坐标是(2,0),双曲线y21的半焦距c2,又虚半轴长b1且a0,a,双曲线的渐近线方程是yx.8已知双曲线1(a0,b0)的离心率等于2,它的焦点到渐近线的距离等于1,则该双曲线的方程为_答案3x2y21解析由题意可得e2,则c2a,设其一焦点为F(c,0),渐近线方程为bxay0,那么db1,而c24a2a2b2,解得a2,则所求的双曲线方程为3x2y21.9已知两定点A(1,1),B(1,1),动点P满足,则点P的轨迹方程为_答案1解析设点P(x,y),则(1x,1y),(1x,1y)所以(1x)(1x)(1y)(1y)x2y22.由已知得x2y22,即1.10已知椭圆1的两个焦点分别为F1,F2,且椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则PF1F2的面积为_答案4解析点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a10,不妨记PF13,则PF27,又2c6,所以cosPF2F1,从而可得sinPF2F1,所以67sinPF2F14.11已知椭圆C:1(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连结AF,BF.若AB10,BF8,cosABF,则C的离心率为_答案解析在ABF中,AF2AB2BF22ABBFcosABF10282210836,则AF6.由AB2AF2BF2可知,ABF是直角三角形,OF为斜边AB的中线,cOF5.设椭圆的另一焦点为F1,因为点O平分AB,且平分FF1,所以四边形AFBF1为平行四边形,所以BFAF18.由椭圆的性质可知AFAF1142a,所以a7,则e.12已知椭圆1(ab0)的离心率等于,其焦点分别为A,B,C为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在ABC中,的值等于_答案3解析在ABC中,由正弦定理得,因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知CACB2a,而AB2c,所以3.13已知抛物线y2px2(p0)的焦点为F,点P在抛物线上,过点P作PQ垂直于抛物线的准线,垂足为点Q,若抛物线的准线与对称轴相交于点M,则四边形PQMF的面积为_答案解析由P在抛物线上,得p,故抛物线的标准方程为x24y,焦点F(0,1),准线为y1,FM2,PQ1,MQ1,则直角梯形PQMF的面积为1.14给出如下四个命题:方程x2y22x10表示的图形是圆;椭圆1的离心率e;抛物线x2y2的准线方程是x;双曲线1的渐近线方程是yx.其中所有不正确命题的序号是_答案解析表示的图形是一个点(1,0);e;正确;渐近线方程为yx.二、解答题(本大题共6小题,共90分)15(14分)已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),离心率e,求椭圆的标准方程解(1)当焦点在x轴上时,设其方程为1(ab0)离心率e,.又a2b2c2,a3b.又椭圆经过点P(3,0),1,a29,b21.椭圆的标准方程为y21.(2)当焦点在y轴上时,设其方程为1(ab0)同理可得a3b.又椭圆经过点P(3,0),1,b29,b3,a9.椭圆的标准方程为1.综上,椭圆的标准方程为y21或1.16(14分)求与椭圆1有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程,并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程解椭圆1的焦点是(0,5),(0,5),焦点在y轴上,于是设双曲线方程是1(a0,b0),又双曲线过点(0,2),c5,a2,b2c2a225421,双曲线的标准方程是1,实轴长为4,焦距为10,离心率e,渐近线方程是yx.17(14分)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且F1F22,椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4,离心率之比为37,求这两条曲线的方程解设椭圆的方程为1,双曲线的方程为1,焦距2c2,由已知得a1a24,37,解得a17,a23,c,所以b36,b4,所以两条曲线的方程分别为1,1.18(16分)已知直线yx4被抛物线y22mx(m0)截得的弦长为6,求抛物线的标准方程解设直线与抛物线的交点为(x1,y1),(x2,y2)由得x22(4m)x160,4(4m)2640,所以x1x22(4m),x1x216,所以弦长为2.由26,解得m1或m9.经检验,m1或m9均符合题意且满足0.所以所求抛物线的标准方程为y22x或y218x.19(16分)已知椭圆C的左,右焦点坐标分别是(,0),(,0),离心率是,直线yt与椭圆C交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆P,圆心为P.(1)求椭圆C的方程;(2)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标解(1)因为,且c,所以a,b1,所以椭圆C的方程为y21.(2)由题意知P(0,t)(1tb0)上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且它的长轴的一个端点A与短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.(1)求椭圆的离心率;(2)设Q是椭圆上任一点,F2是椭圆的右焦点,求F1QF2的取值范围解(1)依题意知F1点坐标为(c,0),设M点坐标为(c,y)若A点坐标为(a,0),则B点坐标为(0,b),则直线AB的斜率k.则有,y.又点M在椭圆1上,1.由得,即椭圆的离心率为.(2)设QF1m,QF2n,F1QF2,则mn2a,F1F22c.在F1QF2中,cos110.当且仅当mn时,等号成立,0cos1,又(0,),.又当Q为椭圆的左、右顶点时,0,.即F1QF2的取值范围是.
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