过宁师范大学学报 ?自然科学版? 一九八七年第三期 ? ? ? ? ? ? ! ? !? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 塑? ? ? 用矩阵的合同变换法求标准正交基 廿一 刹桂 学 王傲 本文治出了由已知 基的度量矩阵 , 通过矩阵的合同变换求标准止 交丛的方法 。 关键词 ? 度量 矩阵 , 正 定矩阵 , 头 巨阵的合 同 , 标准正交基 。 现在我们见 到 的高等代数 , 或线性代数课本中 , 由已知一 组基求标准正 交基的方法 都是用 斯 密特正交 化法 。 我于 ?。年使用北京大学 编 写的高等代数教材时 , 写出用 矩阵 的合同变换法由一 组基术准标正 交基 。 此种 方法记忆方便 , 同时又可作为二次型理论的 一个应用 。 求法步骤如下 ? ? ? 求 出给定基 。, ,?, , 的度 量矩 阵月 ? ? 。 用合 同变 换法求 矩阵?使? , ?一石 ? ? ? ? , ,?。? 一?刃? , , 刀 , ? ? 则 刀? , 勺? , , 刃 , 即为所求的 准标正 交基 。 例 由 ? 的一组 基 ? 一? , ? , ? , ? , ? ? , ? , ? , ? , ?一 ?一? , ? , ? , ? , ? ? ? ? , 一? , 一 ? , ? ? 求一组准标 正交基 解 ?,?,? ?,? 的度量矩阵 ? ? ,? ? 一,? ? ? ?土 一 ? ?日? 口 ? 一? ? ? 一 ? ? 一 ? ? ?,。? ? 、 ,。、? 用合同变换求与 ?合 同的矩阵?使? ,? 瓜 八 曰 一 口 ? 曰 月 峪八曰自? 曰? ?、 一 。? 一 ? ? ,? ? ? ? 一 ? ? ? ? ? 八 曰 ? 一 ? 一? ,勺土山今 山 心 ? 尸 了?一 ,一 ? ? ? ? ? 一 韵 ?列 ? ?月伟 ? 八曰 一?一? ? ? ?一卜 , 二 ? 、 ?、 ? 。二二 ? 少?入气而 ? ?十 。夕? ? 产 ? ? ? ? ? ? ? 曰 ?口 ? ? 列 火 ?幼 十? 列 ? 行 ? ?专 ? ? 行 ? 曰 ? ? ?月峪?八 曰 ? ? ? ?、 ? ? ? ? 一 ? ? 一? 、 ? 。 ?, 一 。? ? , 山? ? 八曰 ? 日 ,上 ? ? 厂曰一 ? ? ? ? ? 七 ? 行 ? ? 一 专? ? 于 , 行 ? ?专 ? ? ? 于 、? ? ? ? ? ? ? ? ? 口? ?,工 八曰 ? ?弓 土 一 日 ? ? ? ? ?止 ? ? ? ? ? 一 ? ? 甲 了 扩 ? ? ?一 八乙 ? 上 ? 日 八曰二 日 ? 土一 ? ? ? ? ? ? 列 ? ?行 ? 丫鲁 ? 行 、 了粤 而丁 丁一 ? 一 鱼 ?产 ? ? ? 一 ? 邝山? ? 列 ? 一 ? ?一 之 一 召材 一 ? 一 ? 口 ? ? ,自 ? 八 曰? 曰 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。歹 ? 了 哥 ?歹 ,? 专 , 、二 、 ? ? 叮?入 下犷 乙 ? 月叶?曰 门 ? ? ?,么 ? 一? ? ? 一 ? ? 丁 ? ? ? ? ? ? 一 ? ?土 ? 八? ? 所求 、? ? ? 曰? 曰 ? 了丁 ? 了 了 卫?一 ? ? ? 一、一 卜 ? 一邝 自 一?丁 ? ? ? 一 ? 八?曰 于是 即 ?刀 一, 打 ? , 芍? , 即?“? ?,?,?,? ? ? ? ? 。 、 ? ?一 夕了 ? 一 气口了 夕了 ”口 ? ? 丫万 ?了? 。 ? ? ?, 万 ? , 一 场了 一 口万 而 以 声 ? ?少 了二 ? 召? ? , 守正 ? 材? ? ? , 召? ”? ? ? 丁? ? 一? 二 ? 一?一 宁 ? 一 ? 一、人 ? 一 ?争 一 合 , 一 合 , 合 ? 为所求的标准 正 交基 。 此 种方法的理论依据 如下 ? 因为欧氏空间?的 一组 基 。, , ,? 。的 度量矩阵?是正定的 , 正 定矩阵 与单位矩阵?合 同 即有实可逆矩阵 ? ? ? ? ? ? ? ?叭 。 ? ? ? , 一? 。, ? ? ?丫士 ? 二 份 ? ? 艾?曹 使 ? ? , C : 。 C , , C 户 A CE 由 :1, , : , 是基 , 义C可逆 , 于是 由 求得的 勺1 , 刃2 再证 叮, , 度量 矩阵 (1 , ,、 )C = ( 7了:, , 产了 。 ) , , 刀 , 是V的一组基 , 、是V的一 组标准 正交基则 可 。 由标准正 交基的性质 , 只要 证叩1 , , 、的 (叮 l, 刃1) (叩一,行 。 ) ,. E (刀 , , 勺l)一 (刀 , , 刀 , ) ; 则 可 ,。 )C = ( 刃1 , , 刃 , ) C , z1+ C , z2 + +C 、,。 C J I1+ C , 2 2+ +C , , 。, 二1, = B仕 从如 由 有 = 二合 (, , ) ( C z , C , 2 , , C , )A 。 C , r C J Z C ,: -合B=C , AC一E O na M e t h o d o f D e t e r mining a N o r m a l O r t h o g o n a lB as is W a ng G u i la n (DePa rtment of Mathematie, , Li aon i n gN or m a lU n i vero i ty ) I n 1 S Ab ,tra et t h ee u r r e nt te xtbo o k s , t h e m e t h o d o fd eter mi n i 。名an o rma l o rthogo n al o rthogo n alizatio n Pro e essdu e to b v bd sis g1V e T he pu rpo se ofth ispape r a n other m ethodof dete rm injng ba sis a nd the S ehm idt. n o rma l o rlhogo n al basisU si n g 15 to the m ezrie m atrixofa giv e n K eyw o rd, : m etrie n o rma l e o ntr a ct tr a n sfo rmatio n s o f m atrix 。 m a t r i x , p os i t i ve d e fi n i te m a trix , e on tr ae t m a一rjx o rthogo n a lb a sis. 9 6