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圆的切线1一、切线切线长定理中的基本图形:如图,PA,PB为O的切线,A,B分别为切点,则有:(1)两个等腰三角形(PAB, OAB);(2)一条特殊的角平分线(OP平分APB 和 AOB);(3)三个垂直关系(OA PA, OBPB, OPAB)。1遇到有切线时常添加过切点的半径(连结圆心和切点)。(图1) 图1 图2 图32 遇到证明某一直线是圆的切线时(1)若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心(即作半径),再证其与直线垂直。 (图2) (2)若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段,再证垂足到圆心的距离等于半径。(图3) 图4 图5 3.弦切角是与圆有关的其中的一种角,当条件是切线时,往往找弦切角,看弦切角所对的弧,再找弧所对的圆周角得两角相等。 (图1)4 遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段。 (图4)遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点。 (图5)一、圆中有切线,常作过切点的半径(有点,过圆心作切线的垂线)例1.如图,已知MN为O的直径,AP是O的切线,P为切点,点A在MN的延长线上,若 PA=PM,求A的度数。解:连结OP,设A的度数为x。PA=PM,M=A,同理可得OPM=M,POA=OPM+M=2M=2A=2x。又AP切O于点P,APOP,A+POA=90,即x+2x=90,解之得x=30,A=30。例2: 如图,PA是O的切线,切点是A,过点A作AHOP于点H,交O于点B.求证:PB是O的切线.证明:连接OA、OB.PA是O的切线,OAP=90.OA=OB,ABOP,AOP=BOP.又OA=OB,OP=OP,AOPBOP.OPB=OAP=90.PB是O的切线.例3.如图,AB为O的直径,C为O上的一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为D,求证1=2。证明:连结OC。DC切O于点C,OCDC。又ADDC,OCAD,1=3。OA=OC,2=3,1=2。评析:当欲求解的问题中含有圆的切线时,常常需要作出过切点的半径,利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。例4、如图,AB、AC与O相切有与B、C点,A = 50,点P优弧BC的一个动点,求BPC的度数。解:连结 OB、 OC , AB、AC是O的切线 ABOB, ACOC,ABO = ACO = 90在四边形ABOC中,A = 50BOC = 360- A -ABO - ACO = 360- 50- 90-90 = 130 BPC = 12 BOC = 65例5、已知:MN 切O于A点,PC是直径,PB MN于B点,求证:PA2 = PB PC分析: PA2 = PB PC PAPB = PCPA PAB PCA 证明:连结AC、AP PC是O的直径 CAP = 90 PB MN PBA = 90 CAP = PBA MN 是0的切线 BAP = ACPPAB PCD PAPB = PCPA PA2 = PB PC在解决有关切线问题时,常作过切点的半径,利用切线的性质定理;或者连结过切点的弦,利用弦切角关系,使问题得以解决。二、无公共点,利用圆心“作垂直,证半径”判定切线 1、 如图,在RtABC中,ABC = 90 ,BAC的平分线交BC于点D,以点D为圆心,DB长为半径作O。求证: AC与圆D相切。2、已知:ABCD的对角线AC、BD交于O点,BC切O于E点.求证:AD也和O相切. 习题一 题1 题2 1、 如图,P是O外一点,PA、PB分别和O切于A、B,C是弧AB上任意一点,过C作O的切线分别交PA、PB于D、E,若PDE的周长为12,则PA长为_。 题 1 题2 题32、如图,ABC中,A=45,I是内心,则BIC= 。3、如图,RtABC中,AC=8,BC=6,C=90,I分别切AC,BC,AB于D,E,F,求RtABC的内心I与外心O之间的距离。 4、如图,A是半径为1的圆O外的一点,OA=2,AB是圆O的切线,B是切点,弦BCOA,连结AC,求阴影部分的面积。 题4 题55、已知:如图,AB是O的直径,BC是O的切线,连AC交O于D,过D作O的切线EF,交BC于E点.求证:OE/AC.习题二有公共点,利用公共点”连半径,证垂直”判定切线1、如图,在RtABC中,C = 90 , BD是角平分线,点O在AB上以点O为圆心,OB为半径的圆经过点D,交BC于点E。(1)、求证:AC是O的切线。 (2)、若OB =10, CD = 8,求BE的长。利用切线的性质解边角问题 2、 如图,在O中, 点C是直径AB的延长线上一点,过点C作O的切线,切点为D,连接BD。(1)、求证:A= BDC; (2)、若CM平分ACD,且分别交AD,BD于点M,N,当DM =1 时,求MN的长。利用切线的性质解与特殊四边形综合问题3、如图,AB是O的直径 ,BAC=90 ,四边形EBOC是平行四边形,EB交O于点D,连接CD并延长AB的延长线于点F。(1)、求证:CF是O的切线, (2)、若F = 30 ,EB =4, 求图中阴影部分的面积。(结果可保留根号和)习题二1、(2)12; 2、(2)2 ; 3、 (2)43 - 43答案:习题一 1、6 ; 2、115 ;3、5 ; 4、6 ;切线3 / 3
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