第十五讲 牛吃草 英国科学家牛顿在他的 普通算术 一书中， 有一道关于牛在牧场上吃草的问题， 即牛在牧场上吃草， 牧场上的草在不断的、均匀的生长后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题” “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间草的数量、牛的头数、时间难点在于随着时间的增长，草也在按不 变的速度均匀生长，所以草的总量不定. 解“牛吃草”问题的主要依据：解“牛吃草”问题的主要依据： 草的每天生长量不变； 每头牛每天的食草量不变； 草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值 新生的草量每天生长量天数 同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： 设定 1 头牛 1 天吃草量为 1 份； 草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)； 原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数； 吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)； 牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度 “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本 质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题 一、计算草的生长速度与原有草量 新草的生长速度和原草是求后面问题的必备条件，大家一定要熟练掌握. 草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数) 原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数 例：有一块匀速生长的草场，可供 12 头牛吃 25 天，或可供 24 头牛吃 10 天，问每天新长多少草，草场原 有多少草？ 【解析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，那么 12 头牛吃 25 天一共吃了12125 = 300(份)，24 头牛吃 10 天一共吃了24110 = 240(份)，25 1015天生长的草量为30024060(份)， 所以每天生长的草量为 60 154(份/天)；原有草量为：300 254 = 200(份) 二、已知牛头数求天数 例：牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天供 25 头牛可吃几天？ 【解析】首先要算出草的生长速度与原有草量，设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，10 头牛吃 20 天共吃了 1020200(份)； 15 头牛吃 10 天共吃了15 10150(份) 第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050 (份)草，这 50 份草是牧场的草20 1010(天)生长出来的，所以每天生长的草量为50 105(份/天)， 那么原有草量为：200520100 (份) 求出这两个条件之后， 后面有两种解法， 一种是按前面的公式: 吃的天数原来的草量(牛的头数草的 生长速度)，另一种就是将牛分成吃新草的幸福牛和吃原草的倒霉牛，时间由倒霉牛决定. 方法一：每天 25 头牛吃掉 25 份，但新长出的草补回来 5 份，每天实际上只减少25 5 = 20(份)，因此天 数为：100 (25 5) = 5(天) 方法二： 供 25 头牛吃， 每天新长出 5 份草， 因此有 5 头幸福牛去吃每天生长的草， 那么剩下25 5 = 20(头) 倒霉牛，现在计算一下倒霉牛吃完原草的天数即可，需要100205(天)，即它可供 25 头牛吃 5 天 三、已知天数求牛头数 例：一牧场放牛 58 头，7 天把草吃完；若放牛 50 头，则 9 天吃完假定草的生长量每日相等，每头牛每 日的吃草量也相同，那么放多少头牛 6 天可以把草吃完? 【解析】首先要算出草的生长速度与原有草量，设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，58 头牛吃 7 天共吃了 58 7406 (份)； 50 头牛吃 9 天共吃了50 9450(份)， 每天新生长的草量为：(450406)(97)22 (份/天)，原有草量为：45022 9252(份). 求出这两个条件之后，后面有两种解法， 方法一：先根据原草、新草生长速度、天数计算出总实际吃的总草量，再算牛头数。即 6 天的总草量为： 252 + 226 = 384(份)，牛头数为：384 6 1 = 64(头). 方法二： 每天新长出 22 份草， 因此有 22 头幸福牛去吃每天生长的草， 倒霉牛需要在 6 天吃完 252 份原草， 头数为252 6 1 = 42(头)，最后把二者相加即可，22 + 42 = 64(头). 四、多种动物吃草 解决这种问题关键在于解决这种问题关键在于找到各类动物吃草量之间的关系，找到各类动物吃草量之间的关系，然后转化为同一种动物求解，然后转化为同一种动物求解，若题目已知了若题目已知了 各类动物吃草量之间的关系，可以直接各类动物吃草量之间的关系，可以直接转化转化，若题目没有已知，那么要，若题目没有已知，那么要列出关于动物食草量的等式，在同列出关于动物食草量的等式，在同 等天数下比较其倍数关系等天数下比较其倍数关系. . 例：一块匀速生长的草地，可供 16 头牛吃 20 天或者供 100 只羊吃 12 天如果一头牛一天吃草量等于 5 只羊一天的吃草量，那么这块草地可供 10 头牛和 75 只羊一起吃多少天？ 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，由于一头牛一天吃草量等于 5 只羊一天的吃草量，所以 100 只羊 吃 12 天相当于 20 头牛吃 12 天那么每天生长的草量为 162020 12201210(份/天)，原有草 量为： 1620 1020 = 120 (份) 10 头牛和 75 只羊 1 天一起吃的草量， 相当于 25 头牛一天吃的草量； 25 头牛中，若有 10 头牛去吃每天生长的草，那么剩下的 15 头牛需要120 158(天)可以把原有草量吃 完，即这块草地可供 10 头牛和 75 只羊一起吃 8 天 五、多块草地牛吃草 当草场面积不同时，可以当草场面积不同时，可以将不同面积统一将不同面积统一转化为转化为同样面积的同样面积的牧场牧场来解决来解决. . 例：一个农夫有面积为 3 公顷、1 公顷的牧场，两块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快，如果农夫 将 30 头牛赶到 3 公顷的牧场，牛 12 天吃完了草；如果农夫将 20 头牛赶到 1 公顷的牧场，牛 4 天吃完了 草，问几头牛 10 天可以吃完 1 公顷牧场的草？ 【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，30 头牛 12 天吃完 3 公顷的牧场，可转化为 10 头牛 12 天吃完 1 公顷的牧场，那么在 1 公顷的牧场每天生长的草量为 10 122041245(份/天)，原有草量为： 1012 512 = 60 (份)，要在 10 天内吃完，需要60 10 + 5 = 11(头). 六、变形牛吃草 变形的牛吃草问题实际上都是消长问题变形的牛吃草问题实际上都是消长问题，关键是要找出对应的，关键是要找出对应的“原草原草”以及以及“新草生长速度新草生长速度” 。 例：一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果 10 人淘水，3 小时淘完；如 5 人淘水， 8 小时淘完.如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？ 【解析】在这道题中，船里的水相当于“牧场上的草” ，在淘水前已经进的水就相当于“原草” ，人淘水相 当于“牛吃草” ，淘水过程中匀速进入的水相当于“匀速生长的新草”. 设1人1小时淘出的水量是1份， 进水速度是(5 8 10 3)(83)2 (份/小时)， 原有水量5 82 824 (份)，要求 2 小时淘完，要安排242214(人)淘水