微分几何,主讲：钟定兴,课 程 介 绍,微分几何历史简介 微分几何是数学的一个重要分支，它渗透到各数学分支和理论物理等学科，成为推动这些理论发展的一项重要工具。 经典的微分几何研究三维欧氏空间的曲线和曲面在一点邻近的性质，在微积分发明的同时，就开始了平面曲线微分几何的研究，而第一个作出重要贡献的是Euler(17071783).他在1736年引进了平面曲线的内在坐标，即曲线弧长这一概念，从而开始了内在几何的研究。将曲率描述为某一特殊角的变化率也是Euler的工作。他在曲面论方面也有重要贡献，特别值得一提的是他在测地线方面的一些工作，最早把测地线描述为某些微分方程组的解。,又在物理问题的推动下，1736年他证明了：在无外力作用的情况下，一个质点如约束在一曲面上运动，它必定是沿测地线运动。 另一个历史人物是G.Monge(17461818)，在筑城垒这个实际问题的推动下，他1771年开始写了关于空间曲线论的论文，发表于1785年，他用的是几何方法，并反映了他对偏微分方程的兴趣。Monge写了第一本微分几何课本，1807年出版，这课本共印了五版，一直发行到Monge逝世后三十年，足见该书在当时的重要作用。 F.Frenet(18161868)与J.Serret(18191885)分别于1847年和1851年独立地得出现在通称的Frenet-Serret方程（或Frenet方程）后，空间曲线论才最后统一起来。,G.F.Gauss（17771855）的贡献见于1827年他的“弯曲曲面的一般研究”一文。他在微分几何方面的重要贡献，不仅在于他证明了许多惊人的新结果，更重要的是他致力于微分几何全新的探讨，具有非凡的洞察力，抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容。在微分几何发展经历了150年历史之久，Gauss建立了由第一基本形式所决定的曲面的内在几何，这是有深远的意义的。Gauss的内在几何以惊人的步伐将微分几何向前推进，但那时并未被人们所认识。 直到R.Riemann（18261866）才进一步发展了Gauss的内在几何学，1854年他在哥丁根大学就职演讲中深刻地揭示了空间与几何两者之间的差别。Riemann将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是仅仅把它看作欧氏空间中的一个几何实体，从而他认识到二次,微分形式（现称为黎曼测度）是加到流形上去的一个结构，因此在同一流形上可以有众多的黎曼测度。Riemann意识到这件事是非凡的重要，把诱导测度与外加的黎曼测度两者区分开来，从而开创了黎曼几何，作出了杰出的贡献。其后，Levi-Civita等人进一步丰富了经典的黎曼几何。 二十世纪二、三十年代E.Cartan开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立起李群与微分几何之间的联系，从而为微分几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极为深远。 从局部微分几何到黎曼几何、微分流形与纤维从理论的发展过程可以看到，除了微分几何本身研究中所产生的研究问题外，其他数学学科及物理学、力学等也推动了微分几何的发展。我们特别在这里强调一下理论物理与微分几何的相互影响，黎曼几何与广义相对论的,相互推进，既发展了引力理论，也促使微分几何本身进一步发展。近年来，整体黎曼流形的研究也被用到引力理论的研究中去。随着高能物理学的发展，规范场的重要性日益显著，纤维丛几何是规范场研究的一项有力的数学工具，微分几何中一些深入的内容如陈省身示性类、AtiyahSinger指标定理等都在研究中起了突出的作用。总之，微分几何在理论物理中的作用愈来愈显示出其重要意义，这是一个值得注意的动向，它必须进一步推进微分几何的向前发展。,课程的教学目的和要求 微分几何是用微积分和线性代数的方法研究空间曲线和曲面的形状，找出决定曲线和曲面形状的不变量系统。微分几何课程是师范院校数学与应用数学专业的必修课。通过这门课程的学习，使学生掌握这门课程的基本概念、基本理论和基本方法，培养学生应用微积分和线性代数处理几何问题的能力，培养几何直观和图形想象能力，从具体到抽象的能力，为进一步学习现代微分几何打下扎实的基础。,课程的主要内容 本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论，主要内容有： （1）曲线论。包括参数曲线，曲线的弧长，曲线的曲率和Frenet标架，挠率与Frenet公式，曲线论基本定理，曲线在一点处的标准展开，平面曲线。 （2）曲面论。包括曲面的定义，切平面与法线，曲面的第一基本形式，曲面上正交参数网的存在性，保长对应，保角对应，可展曲面，曲面的第二基本形式，法曲率，Gauss映射与Weingarten映射，主曲率和主方向的计算，Dupin标形和曲面在一点的标准展开，某些特殊曲面，曲面论基本定理。,课程的主要内容 本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论， （1）曲线论。包括曲线的弧长，曲线的曲率和Frenet标架，挠率与Frenet公式，曲线论基本定理，曲线在一点处的标准展开，平面曲线。 （2）曲面论。包括切平面与法线，曲面的第一基本形式，曲面上正交参数网的存在性，保长对应，保角对应，可展曲面，曲面的第二基本形式，法曲率，Gauss映射与Weingarten映射，主曲率和主方向的计算，Dupin标形和曲面在一点的标准展开，某些特殊曲面，曲面论基本定理。 （3）曲面的内蕴几何，包括测地曲率和测地挠率，测地线，测地坐标系，常曲率曲面，Gauss-Bonnet公式。,