西南财经大学 省级精品课程 经济管理数学分析课题组版权所有 请勿外传,1 关于实数完备性的基本定理 2 闭区间上连续函数性质的证明,第七章 实数的完备性(简介),经济管理数学分析,1 关于实数完备性的基本定理,第七章 实数的完备性(简介),定义1(P161),注 定义1表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个， 即闭区间的端点满足不等式:,一 区间套定理,例如：,第七章实数的完备性1关于实数完备性的基本定理,定理7.1 (区间套定理,P161),几何意义,区间套定理的几何意义是: 有一列闭线段(两个端点也属于 此线段)，后者被包含在前者之中，并且这些闭线段的长构成的数 列以0为极限，则这一列闭线段存在唯一一个公共点.,即,第七章实数的完备性1关于实数完备性的基本定理,证,第七章实数的完备性1关于实数完备性的基本定理,推论(P162),第七章实数的完备性1关于实数完备性的基本定理,注 (1)定理7.1中需闭区间才能确保结论成立，如 ， 若有，应为0，但,*(2)(补充)若 为严格开区间套: 即则存在唯一一点,(3)利用区间套定理证明：先构造区间套，使 为所求点.,第七章实数的完备性1关于实数完备性的基本定理,区间套定理的应用,例(P162),证明“数列的柯西收敛准则”,(定理2.10,P38).,证,必要性,由数列极限定义,第七章实数的完备性1关于实数完备性的基本定理,充分性,按假设，,第七章实数的完备性1关于实数完备性的基本定理,根据P26定义1,第七章实数的完备性1关于实数完备性的基本定理,二 聚点定理,定义2(P163) 设 S 为数轴上的点集， 为定点 (它可以属于 S，也可以不属于 S )，若 的任何邻域内都含有 S 中无穷多个点， 则称 为 S 的一个聚点.,注,聚点概念和下面两个定义等价:,定义2(P163) 对于点集 S，若点的任何 邻域都含有 S 中异于 的点，即 则称 为 S 的聚点.,定义2(P163) 若存在各项互异的收敛数列 ，则其极限 称为 S 的聚点.,例如:,第七章实数的完备性1关于实数完备性的基本定理,定理7.2 (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理,P164),实轴上任一有界无限点集 S 至少有一个聚点.,第七章实数的完备性1关于实数完备性的基本定理,推论(致密性定理,P164),有界数列必含有收敛子列.,第七章实数的完备性1关于实数完备性的基本定理,三 有限覆盖定理,若 H 中开区间的个数是无限(有限)的，则称 H 为 S 的一个无 限(有限)开覆盖.,定义3(P165) 设 S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合，(即 H 的每一个元素都是形如 (, ) 的开区间). 若 S 中任何一点都含在 至少一个开区间内，则称 H 为 S 的一个开覆盖，或简称 H 覆盖 S .,定理7.3 (Heine-Borele有限覆盖定理,P165),设 H 为闭区间 a,b 的一个(无限)开覆盖，则从 H 中可选出 有限个开区间来覆盖 a,b .,第七章实数的完备性1关于实数完备性的基本定理,