启用前启用前绝密绝密 2019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3. 在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸或答题卡非题号对应的答题 区域的答案一律无效。不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 可能用到的相对原子质量： 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。符合题目要求的。 1.已知函数，那么集合中元素)(xfy bax,( ),( , )2x y yf x xa bx y x（） 的个数为 （ ） A1 B0 C0 或 1 D1 或 2 2.已知xC，若关于x实系数一元二次方程（a，b，cR，a0）有一根为 2 0axbxc 1i则该方程的另一根为 （ ） A1i B1i C1i D1 3设，则M，N大小关系是（ ）)(), 16 1 (log);32( , 2 1 2 2 1 RxxNa a aM A MN B M=N CMN D 不能确定 4.设向量，若 是实数，且，则的最)25sin,25(cos a)20cos,20(sin btb tau u 小值为 （ ） A B1 C D2 2 2 1 2 5.如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，CD2 cm，则原图形是( ). A正方形 B矩形 C 梯形 D菱形 6.设函数是二次函数，若的值域是0，)，则的值域 1, 1, )( 2 xx xx xf)(xg)(xgf)(xg 是 ( ). A(，11，) B(，10，) C0，) D1，) 7.右图是求样本x1，x2，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( ).x A.S=S+ n x B.S=S+ n x n C.S=S+ n D.S=S+ 10 n x 8.函数的图象关于对称，则是（ ）)0(cossin)(axbxaxf 4 x 3 () 4 yfx A图象关于点对称的函数 B图象关于点对称的函数），（0 3 0 2 （，） C图象关于点对称的函数 D图象关于点对称的函数），（0 2 ），（0 4 9. 如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是 （ ） A. B. 21 2 421 C. D. 2 421 1 6 10.f（x）是集合 A 到集合 B 的一个函数，其中，A=1，2，n，B=1，2，2n，nN*， 则 f（x）为单调递增函数的个数是（ ） A Bn2n C （2n）n D 11.已知函数，若有且仅有一个整数k，使得，则实数a的取值范围是 ln2xax f x x 1f k ( ) A. (1,3B. C.D. 11 11 ln2,ln3 42 62 11 ln21,ln3 1 23 1 1,1e e 12设点P是椭圆上异于长轴端点的任意一点，F1，F2分别是其左右焦点， 22 22 1(0) xy ab ab O为中心，则此椭圆的离心率为 （ ） 22 12 |3PFPFOPb A B C. D 1 2 2 2 3 2 2 4 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 若实数x，y满足约束条件则zln yln x的最小值是_ 410 1 4 xy y xy 14 展开式中的系数为 210 (2018)()xyxy 56 x y 15. 如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点 E 为线段 A1B1的中点，点 F，G 分别是线段 A1D 与 BC1上的动点，当三棱锥 EFGC 的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正视图的面积是 16.在ABC中，内角 A，B，C 的边分别为 a，b，c，BD 平分交 AC 于点 2 ABC= 3 ABC D，BD=2，则ABC面积的最小值为 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 12分） 已知正项的数列的前 n 项和为，首项，点在曲线 n a n S 1 1a 2 1 (,) nn P a a 上. 2 44yxx （1）求和； n a n S （2）若数列满足，求使得最小值时的值. n b 11 17,2 nn bbbn n n b S n 18.（本小题满分 12分） 某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取 100 件产品，统计其质量指标值 并绘制频率分布直方图（如图 1）： 规定产品的质量指标值在的为劣质品，在为优等品，在的为特优品，65,7575,105105,115 销售时劣质品每件亏损 1 元，优等品每件盈利 3 元，特优品每件盈利 5 元.以这 1000 件产品的质 量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率； （1）求每件产品的平均销售利润； （2）该企业为了解年营销费用 x（单位：万元）对年销售量 y（单位：万件）的影响，对近 5 年 年营销费用和年销售量数据做了初步处理，得到如图 2 的散点图及一些统计 i x1,2,3,4,5 i y i 量的值 根据散点图判断可以作为年销售量 y(万件）关于年营销费用 x(万元)的回归方程. b yax 求 y 关于 x 的回归方程 用所求的回归方程估计该企业应投入多少年营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最 大？（取 3.01 20e ） 19. 如图，AB 为圆 O 的直径，点 E，F 在圆 O 上，AB/EF，矩形 ABCD 和圆 O 所在的平面互相垂 直，已知 AB=2，EF=1 （1）求证：平面 DAF平面 CBF； （2）当 AD 的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为 60？ 21.（本小题满分 12分） 已知函数，其中a为常数. sin2cos2f xxxxax ()若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等求a的值； yf x0x ()若对，都有，求a的取值范围.0,x 2 f x 选考题：请考生在第选考题：请考生在第 2222，2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22.（本小题满分 10分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数标方程为（其中t为参数） ，在以O为极点、 tt tt xee yee x轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为 .sin2 3 (1) 求曲线C的极坐标方程； (2) 求直线l与曲线C的公共点P的极坐标. 23.（本小题满分 10分） 选修 4-5：不等式选讲 已知函数，且. 2 1f xxx, ,a b cR (1) 若，求的最小值；2abc f af bf c (2) 若，求证：.1xa 21f xf aa 20192019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 （仿真二）答案（仿真二）答案 一、选择题：1-4CBAC 5-8 DCDA 9-12 BDBB 二、填空题：13.ln3;14.210;15.2 16. .4 3 三、解答题： 17. 18 19.解（）平面ABCD 平面,ABEF CBAB，平面 ABCD 平面ABEFAB，CB 平面ABEF，AF 平面ABEF，AFCB， 又AB为圆O的直径，AFBF，AF 平面CBF， AF 平面ADF，平面DAF 平面CBF 5 分 （） 设EF中点为G，以O为坐标原点， OAOGAD、方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空 间直角坐标系（如图） 设(0)ADt t，则点D的坐标为1,0,t，则1,0,Ct，又 13 1,0,0 ,1,0,0 ,0 22 ABF ，设平面DCF的法 向量为 1 , ,nx y z，则，即 20 3 0 2 x ytz ，令3z ，解得 0,2xyt 1 0,2 , 3nt由（1）可知AF 平面CFB，取平面CBF的一个法向量为 2 13 ,0 22 nAF ， 120 12 cos60 n n n n ，即 2 3 1 2 43 t t ，解得 6 4 t ， 因此，当AD的长为 6 4 时， 平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为 60。12 分 21 解：()求导得，所以. cossinfxxxxa 0fa 又，所以曲线在处的切线方程为. 04f yf x0x 4yax 由切线在两坐标轴上的截距相等，得，解得即为所求. 4 分 4 4 a 1a ()对，所以在区间内单调递减.0,x sin0fxxx fx0, （1）当时，所以在区间内单调递减，故0a 00fxfa f x0, ，由恒成立，得，这与矛盾，故舍去. 6 分 f xfa f x1a 0a （2）当时，所以在区间内单调递增，故a 0fxfa f x0, ，即，由恒成立得，结合得 0ff xf 4f xa 2 f xaa . 8 分a （3）当时，因为，且在区间上单调递0a 00fa 0fa fx0, 减，结合零点存在定理可知，存在唯一，使得，且在区间内 0 0,x