第一节 大数定律,一、问题的引入,二、基本定理,三、典型例题,四、小结,一、问题的引入,实例 频率的稳定性,随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐稳 定于某个常数.,启示:从实践 中人们发现 大量测量值 的算术平均 值有稳定性.,单击图形播放/暂停 ESC键退出,二、基本定理,定理一（契比雪夫定理的特殊情况）,契比雪夫,定理一（契比雪夫定理的特殊情况）,表达式的意义,二、基本定理,证明,由契比雪夫不等式可得,并注意到概率不能大于1, 则,关于定理一的说明:,（这个接近是概率意义下的接近）,即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n无限增加时, 几乎变成一个常数.,定理一的另一种叙述:,依概率收敛序列的性质:,证明,证毕,证明,引入随机变量,伯努利,定理二（伯努利大数定理）,显然,根据定理一有,关于伯努利定理的说明:,故而当 n 很大时, 事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小. 在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.,关于辛钦定理的说明:,(1) 与定理一相比, 不要求方差存在;,(2) 伯努利定理是辛钦定理的特殊情况.,辛钦资料,定理三（辛钦定理）,三、典型例题,解,独立性依题意可知,检验是否具有数学期望？,例1,说明每一个随机变量都有数学期望,检验是否具有有限方差？,说明离散型随机变量有有限方差,故满足契比雪夫定理的条件.,解,由辛钦定理知,例2,四、小结,三个大数定理,契比雪夫定理的特殊情况,伯努利大数定理,辛钦定理,频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性.,契比雪夫资料,Pafnuty Chebyshev,Born: 16 May. 1821 in Okatovo, Russia Died: 8 Dec. 1894 In St Petersburg, Russia,伯努利资料,Jacob Bernoulli,Born: 27 Dec. 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug. 1705 in Basel, Switzerland,辛钦资料,Aleksandr Yakovlevich Khinchin,Born: 19 Jul. 1894 in Kondrovo, Kaluzhskaya guberniya, Russia Died: 18 Nov. 1959 in Moscow, USSR,