第1章 行列式,1.1.1 二阶行列式,对于二元一次方程组,定义二阶行列式,则当,时上述二元一次方程组有唯一解,并且通过带入消元法方程 组的解为,1.1 二阶与三阶行列式,即可用二阶行列式表示为,例1 解二元一次方程组,解,1.1.2 三阶行列式,定义三阶行列式为,则三元一次方程组,当,时方程组的解可用三阶行列式表示为,例2 计算行列式,解,1.2 逆序与对换,1.2.1 排列与逆序,自然数,组成的有序数组称为一个,元排列,记为,.,规定按从小到大的顺序排列的叫做标准排列（自然排列）.,为标准排列.,即排列,定义1 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反, 即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列 中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列,的逆序数记为,计算排列逆序数的方法: 对于排列,其逆序数为每个元素的逆序数之和.,中元素,，如果比,大且排在,前面的元素有,个，就说,的逆序数为 ,全体元素的逆序数之和为,即对于排列,即,例3 求排列,的逆序数.,解 在排列,中,定义2 逆序数为偶数的排列称为偶排列, 逆序数为奇数的 排列称为奇排列.,1.2.2 对换,定义3 把一个排列中某两个数的位置互换而其余的数不动 就得到另一个排列,这样一个变换称为一个对换.对换改变排列的 奇偶性. 将一个奇排列变成标准排列需要奇数次对换,将一个偶排列 变成标准排列需要偶数次对换.,1.3 阶行列式的定义,定义4 由,个数组成数表,从中选取处在不同行不同列的,个元素相乘,其中,为,的一,个全排列,并冠以符号,则,为,阶行列式,记作,称和,或简记为,其中,表示处在第,行,第,列位置的元素.,例4 计算行列式,其中未写出部分全为零.,解 在行列式的展开式中共有,个乘积,显然如果,则,必为零,从而这个项也必为零,因此只须考虑,的项.同理只须考虑,也即行列式的展开式,中只有,(其他的项乘积均为零),而,因而其符号为正.因此,定义5 对角线以上（下）的元素全为零的行列式称为 下（上）三角行列式. 由例4还可得出关于上、下三角行列式的如下结论:,例5 计算行列式,解 在行列式的展开式中共有,个乘积,显然如果,则,必为零,从而这个项也必为零,因此只须考虑,的项.同理只须考虑,也即行列式的展,开式中只有,(其他的项乘积均为零),而,因而其符号为,，因此,由例5还可得出下三角行列式的如下结论：,以上各种形式是计算行列式的常用形式,应该对这几种形式 加以注意并加强对它们的理解和应用.,1.4 行列式的性质,行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.对于,阶行列式,当,很大时直接从行列式的定义进行行列式的计算,几乎是不可能的.为此有必要对行列式的性质进行研究,从而简,化行列式的计算.,记,称行列式,为行列式,的转置行列式.,性质1 行列式与其转置行列式相等,即,性质2 互换行列式的两行(列)元素,则行列式变号.,推论1 若行列式中某两行元素对应相等,则行列式的值为零.,性质3 行列式某行元素都乘以数,等于用,乘以行列式,即,推论2 由性质3知若行列式中某行(列)元素含有公因数,可以将数,提到行列式外.,则,推论3 若行列式的某两行(列)元素对应成比例,则此行列式的,性质4 若行列式的某一行(列)是两组数之和,则这个行列式可,值为零.,以写成两个行列式的和,即,此性质可以推广到某一行元素为多组数之和的形式.,性质5 把行列式中某行(列)元素的,倍加到另外一行(列)的,对应元素上去,行列式的值不变.即,例6 计算行列式,的值,其中,解,例7 计算行列式,的值,其中,解法一 分别将行列式的第二行、第三行、第四行加到第,一行得,解法二 利用行列式的性质将行列式的第一行和第四行互换可得,例8 计算行列式,的值,其中,解,例9 计算行列式,的值,其中,解 把前一列乘以,加到后一列上去得,再将第三列乘以,加到第四列上去，第二列乘以,加到,第三列上去得,由于此时行列式的第三列和第四列相等，因此由行列式的,性质可得,1.5 行列式按行（列）展开,1.5.1 余子式与代数余子式,定义6 在,阶行列式,中划去元素,所在的第,行和第,列的元素,剩下的,个元素按原来的排法构成一个,阶的行列式,称为元素,的余子式,记作,.对,冠以,符号,后称为元素,的代数余子式,记为,即,1.5.2 行列式按行（列）展开,引理 设,是一个,阶行列式，如果其中第,行所有元素除,外都为零，那么这个行列式的值等于,乘以它的代数,，即,余子式,定理1 行列式的值等于其某行（列）元素与其代数余子式乘,积之和,即,；,这个定理称为行列式按行(列)展开法则,例10 算行列式,的值,其中,解,例11 计算行列式,的值，其中,解,例12 设行列式,为,求,的值.,解,为行列式,按第二行的展开式,因此,的值等于行列式,.而,因此,作为定理1的推论,我们有,推论,阶行列式的,的任意一行(列)的各元素与另一行(列),对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即,，,或,综合定理1及其推论，我们有关于代数余子式的下述性质：,或,1.6 克莱姆法则,1.6.1 克莱姆（Cramer）法则,现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.,定理2 如果线性方程组,的系数构成的行列式,那么线性方程组,有解,并且解是惟一的,解可以由下式给出,其中,是行列式,中第,列换成方程组的常数项,而得到的行列式.,此定理称为克莱姆法则,克莱姆法则主要解决方程个数 与未知量个数相等的方程组的求解问题，而这类方程组又 是非常特殊、非常重要的方程组.,例17 解方程组,解 方程组的系数行列式,由克莱姆法则得,所以方程组的唯一解为,.,定理3 如果齐次线性方程组,的系数构成的行列式,那么它只有零解.,1.6.2 克莱姆法则的推论,定理4 若非齐次线性方程组无解或有多个解，则其系数,.,行列式,推论 :如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式,.,例18,为何值时,方程组,有非零解.,解 由以上推论知, 当齐次线性方程组有非零解时它的系数,行列式,即,所以,.不难验证,当,时方程组确有非零解.,