第四节 线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的性质 二、基础解系及其求法 三、非齐次线性方程组解的性质 四、小结 思考题,1齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间记为N(A),证毕.,2基础解系的定义,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有,定理1,说明,例2 解线性方程组,解,对系数矩阵施 行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,证明,3非齐次线性方程组解的性质,证明,证毕,其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解.,(3)非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组Ax=b的通解为,例4 求解方程组,解,解,例5 求下述方程组的解,则原方程组等价于方程组,所以方程组的通解为,齐次线性方程组基础解系的求法,4、小结,（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为 最简形,由于,令,（2）得出 ，同时也可知方程组的一 个基础解系含有 个线性无关的解向量,故,为齐次线性方程组的一个基础解系., 线性方程组解的情况,思考题,思考题解答,