,2,（一）曲线积分与曲面积分,（二）各种积分之间的联系,（三）场论初步,一、主要内容,3,曲线积分,曲面积分,对面积的 曲面积分,对坐标的 曲面积分,对弧长的 曲线积分,对坐标的 曲线积分,定义,计算,定义,计算,（一）曲线积分与曲面积分,4,5,6,7,定积分,曲线积分,重积分,曲面积分,计算,计算,计算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,（二）各种积分之间的联系,8,积分概念的联系,定积分,二重积分,9,曲面积分,曲线积分,三重积分,曲线积分,10,计算上的联系,11,其中,12,理论上的联系,1.定积分与不定积分的联系,牛顿-莱布尼茨公式,2.二重积分与曲线积分的联系,格林公式,13,3.三重积分与曲面积分的联系,高斯公式,4.曲面积分与曲线积分的联系,斯托克斯公式,14,Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系,推广,推广,15,梯度,通量,旋度,环流量,散度,（三）场论初步,16,二、典型例题,1 计算,其中L为圆周,利用极坐标 ,原式 =,说明: 若用参数方程计算,则,17,2 计算,其中L为摆线,上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.,提示: 原式 =,18,3 计算,其中是由平面 y = z 截球面,所得截痕,从 z 轴正向看去,沿逆时针方向.,提示: 因在上有,故,原式 =,19,思路:,闭合,非闭,闭合,非闭,补充曲线或用公式,20,解,21,解,(如下图),22,23,6,解,利用两类曲面积分之间的关系,24,25,解,(如下图),26,27,28,8 设为简单闭曲面,为任意固定向量,证明: 设,(分量均为常数),则,为的,单位外法向向量 , 试证,29,9 计算曲面积分,其中, 是球面,的外侧 .,解:,思考: 本题 改为椭球面,时 , 应如,何计算 ?,30,10 设 是曲面,解: 取足够小的正数 ,作曲面,取下侧,使其包在内 ,为 xoy 平面上夹于 与,之间的部分, 且取下侧 ,取上侧 , 计算,则,31,测 验 题,32,33,34,35,36,37,38,39,测验题答案,