1,第四节 泰勒级数,一、函数的泰勒展开式,二 初等函数的幂级数展开式,三、函数的幂级数展开式的应用,四、内容小结,2,一、函数的泰勒展开式,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,3,n阶泰勒公式,若函数 在 的某邻域内具有 阶导数 ,则在该,其中,( 在 x 与 之间),称为拉格朗日余项 .,此式称为 的 阶泰勒公式 ,邻域内有 :,4,如果 在 的某邻域内存在任意阶导数 ,则称下,为 的泰勒级数 .,列级数,当 时, 泰勒级数变为 .,称为麦克劳林级数 .,5,待解决的问题 :,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为,麦克劳林级数,6,定理 1,各阶导数,设函数 在点 的某一邻域 内具有,则,条件是,的泰勒公式中的余项满足,证明:,令,在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,7,定理2,若 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是,唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.,证: 设,则在收敛区间内,显然结论成立 .,8,二:初等函数的幂级数展开式,1. 直接展开法,由上述泰勒级数理论可知 ,第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;,第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;,第三步 判别在收敛区间,是否,内,为0 .,函数,展开成幂级数,的步骤如下 :,9,例1. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,级数的收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项有,故,( 在 0 与 x 之间 ),10,例2. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,级数的收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项有,11,类似可推出,12,例3. 将函数,展开成 x 的幂级数, 其中,m 为任意常数 .,解: 容易求出,于是,由于,因此, 对任意常数,级数在开区间,内收敛 .,m ,13,为了避免研究余项 , 设此级数的和函数为,14,由此得,称为二项展开式 .,说明：,1 . 在,处的收敛性与,有关 .,2. 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.,15,16,2. 间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将 所给函数展开成 幂级数.,例4. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,把 x 换成 , 得,17,例5. 将函数,展开成 x 的幂级数 .,解:,从 0 到 x 积分,上式右端的幂级数在 收敛 ,而 在 有,定义, 且连续 ,所以展开式对 也是成立的 , 于是收敛,区间为,利用此题可得,18,19,20,21,例8. 将,展成,解:,的幂级数.,22,例9. 将,展成 的幂级数.,解:,23,24,（一）近似计算,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,关健:,通过估计余项,确定精度或项数.,三、函数的幂级数展开式的应用,25,常用方法:,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,例1,解,26,余和:,27,例2,解,其误差不超过 .,28,（二）计算定积分,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,29,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例3,解,收敛的交错级数,30,（三）求数项级数的和,1.利用级数和的定义求和:,(1)直接法;,(2)拆项法;,(3)递推法.,例4,解,31,32,2.阿贝尔法(构造幂级数法):,(逐项积分、逐项求导),例4,解,33,34,例5,解,35,（四）欧拉公式,复数项级数:,36,复数项级数绝对收敛的概念,三个基本展开式,37,38,揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系.,39,内容小结,1. 函数的幂级数展开法,(1) 直接展开法,利用泰勒公式 ;,(2) 间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开式的函数 .,2. 常用函数的幂级数展开式,40,当 m = 1 时,41,1、 函数,处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级,数” 有何不同 ?,提示: 后者必需证明,前者无此要求.,练习与思考题,42,42,2、将,展开为 x 的幂级数.,解:,因此,