,2,一、曲线积分与路径无关的定义,B,A,如果在区域G内,3,二. 平面曲线积分与路径无关等价条件,定理2. 设D是单连通开区域 ,在D,内具有一阶连续偏导数 ,(1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分,(3),(4) 在D内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价,在D内是某一函数,的全微分,即,4,(1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分,与路径无关, 只与起止点有关.,证明 (1) (2),设,为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则,5,(3) 在D内是某一函数 的全微分, 即,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分,与路径无关, 只与起止点有关.,证明 (2) (3),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B( x , y ) ,与路径无关 , 设,6,(3) 在 D 内是某一函数 的全微分, 即,(4) 在D内每一点都有,证明 (3) (4),设存在函数 u ( x , y ) 使得,则,P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,7,(1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有,(4) 在D内每一点都有,设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为,(如图 ), 因此在 上,利用格林公式 , 得,证明 (4) (1),8,二. 平面曲线积分与路径无关等价条件,定理2. 设D是单连通开区域 ,在D,内具有一阶连续偏导数 ,(1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分,(3),(4) 在D内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价,在D内是某一函数,的全微分,即,9,说明:,若在某区域内有,则,(2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,(3) 求全微分 Pdx+Qdy 在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;,取定点,(1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,10,解：因为,即不含原点的单连通域，积分与路径无关。,取新路径,11,其参数方程为,12,例2. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x,y) 使,。,。,13,例3. 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数,并求出它.,证: 令,则,由定理 2 可知存在原函数,。,。,14,。,。,或,15,故积分路径可取圆弧,例4. 设质点在力场,作用下沿曲线 L :,由,移动到,求力场所作的,功W. ( 其中 ),解:,令,则有,曲线积分在除原点外的单连通开区域上与路径无关,思考：积分路径是否可以取 为什么？,16,设函数 平面上具有一阶连续偏导数， 曲线积分,与路径无关，并且对任意t恒有,解：由积分与路径无关的条件知,17,两边对t求导得,18,内容小结,1. 格林公式,2. 等价条件,在 D 内与路径无关,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线L,在 D 内有,设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数 , 则有,19,20,思考与练习,1. 设,且都取正向, 问下,列计算是否正确 ?,提示:,时,21,2. 设,求,提示:,22,练 习 题,23,24,25,26,练习题答案,27,