,2,第三节 齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程 .,令,则,代入原方程得,即,两边积分, 得,积分后再用,代替 u ,便得原方程的通解 .,3,例1. 解微分方程,解: 令,则,代入原方程得,即,分离变量,两边积分,得,即,故原方程的解为,说明: 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解.,( C 为任意常数 ),4,例2. 解微分方程,解: 因为,令,则有,分离变量,两边积分得,即,代回原变量 , 得通解,即,说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解 , 但 在求解过程中丢失了.,在通解中若允许 C = 0 , 则包含了,x = 0 及 y = x 两解 ,但解 y = 0 仍未包含在内 .,( C 为任意常数 ),5,例 3 求解微分方程,微分方程的解为,解,6,例 4 求解微分方程,解,7,微分方程的解为,8,解,代入原方程得,9,分离变量法得,得原方程的通解,方程变为,10,解,代入原方程,原方程的通解为,11,有OMA = OAM = ,例7. 在制造探照灯反射镜面时, 要求将点光源的光线,反射出去, 以保证探照灯有良好的方向性 . 试求反射镜面 的形状 .,解: 设光源在坐标原点 ,过曲线上任意点 M (x,y) 作切线 M T,则由光的反射定律:,入射角=反射角,于是得微分方程 :,取 x 轴平行于光线反射方向.,从而 AO = OM .,12,利用曲线的对称性 , 不妨设 y 0 , 于是方程化为,( 齐次方程 ),则,积分得,故有,代入,得,令,这是一个抛物线 , 因此反射镜面为旋转抛物面 .,13,顶到底的距离为 h ,说明:,则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得,14,三、小结,齐次方程,齐次方程的解法,可化为齐次方程的方程,15,1 (1) , (4) , (6) ; 2 (2) , (3) ; 3 ;,作业12-3 P276,16,思考题,方程,是否为齐次方程?,17,思考题解答,方程两边同时对 求导:,原方程是齐次方程.,18,练 习 题,19,练习题答案,