课时训练 02 分类加法计数原理与分步乘法 计数原理的应用 (限时：10 分钟) 1由 1,2,3,4,5 这 5 个数字组成无重复数字的五位数中，小于 50 000 的偶数有( ) A60 个 B48 个 C36 个 D24 个 解析：分两类： 第一类，末位数字为 2，依次确定万位、千位、百位、十位上 的选择方法，可得 N1332118(个) 第二类，末位数字为 4，同第一类办法，可得 N2332118(个) 所以，满足题目条件的数共有 NN1N236(个) 答案：C 2如图所示，一环形花坛分成 A，B，C，D 四块，现有 4 种不 同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的两块种不同的花， 则不同的种法总数为( ) A96 B84 C60 D48 解析：按 A，B，C，D 的顺序种花，分两类：A，C 种同一种花， 共有：43336(种)；A，C 种不同种花，共有 432248(种)，共计 364884(种) 答案：B 3如图，四边形 ABCD 中，若把顶点 A，B，C，D 染上红、 黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同 的染色方法共有_种 解析：不妨从点 A 涂起，则 A，C 可同色，也可不同色，故可 分两类， 第一类，若 A，C 同色，涂 A 有 3 种方法，涂 B 有 2 种方法， 涂 D 有 2 种方法，共计 32212(种)方法； 第二类，若 A，C 不同色，涂 A 有 3 种方法，涂 C 有 2 种方法， 涂 B 有 1 种方法，涂 D 有 1 种方法，共计 32116(种)方 法 所以不同的染色方法共有 12618(种) 答案：18 4如图，要给地图上 A，B，C，D 四个区域分别涂上 3 种不同 颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不 同的颜色，不同的涂色方案有_种 解析：按地图 A，B，C，D 四个区域依次分四步完成， 第一步涂 A，有 3 种涂色方法； 第二步涂 B，有 2 种涂色方法； 第三步涂 C，有 1 种涂色方法； 第四步涂 D，有 1 种涂色方法 所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方案共有 N32116(种) 答案：6 5将数字 7,8,9 与符号“” “”五个字符都填入下列表格的 五个空格中，任意两个数字都不相邻，共有多少种不同的填法？ 12345 解析：根据题意，分两步进行，第一步，填数字：数字只能填 在 1,3,5 的位置，共有 3216(种)方法；第二步，填符号，只能 填在 2,4 的位置，共有 212(种)方法，所以共有 N6212(种)不 同的填法 (限时：30 分钟) 一、选择题 1甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程 中恰有 1 门相同的选法有( ) A6 种 B12 种 C24 种 D30 种 解析：分步完成首先甲、乙两人从 4 门课程中同选 1 门，有 4 种方法，其次甲从剩下的 3 门课程中任选 1 门，有 3 种方法，最 后乙从剩下的 2 门课程中任选 1 门，有 2 种方法，于是，甲、乙所 选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 43224(种) 答案：C 2现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学 可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) A56 B65 C. D65432 5 6 5 4 3 2 2 解析：要完成选择听讲座这件事，需要分六步完成，即 6 名同 学逐个选择要听的讲座，因为每名同学均有 5 种讲座可选择，由分 步乘法计数原理，6 位同学共有 55555556种不同的选 法 答案：A 3从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复 数字的三位数，其中奇数的个数为( ) A24 B18 C12 D6 解析：(1)当从 0,2 中选取 2 时，组成的三位奇数的个位只能是 奇数，只要 2 不排在个位即可，先排 2 再排 1,3,5 中选出的两个奇数， 共有 23212(个)(2)当从 0,2 中选取 0 时，组成的三位奇数的 个位只能是奇数，0 必须在十位，只要排好从 1,3,5 中选出的两个奇 数共有 326(个)综上，由分类加法计数原理知共有 12618(个) 答案：B 4从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别 种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法 有( ) A24 种 B18 种 C12 种 D6 种 解析：方法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有 3216 种不同的种植方法同理，黄瓜种在第二块、第三块土 地上均有 3216 种不同的种植方法故不同的种植方法共有 6318 种 方法二：(间接法)从 4 种蔬菜中选出 3 种种在三块地上，有 43224 种方法，其中不种黄瓜有 3216 种方法，故共有 不同的种植方法 24618 种 答案：B 5如图所示，用不同的五种颜色分别为 A，B，C，D，E 五部 分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用， 也可不使用，则符合这些要求的不同着色的方法共有( ) A.500 种 B520 种 C540 种 D560 种 解析：按照分步计数原理，先为 A 着色共有 5 种，再为 B 着色 共有 4 种(不能与 A 相同)，接着为 C 着色有 3 种(不与 A，B 相同)， 同理依次为 D，E 着色各有 3 种，所以不同着色的方法共有 N5433540(种) 答案：C 二、填空题 6湖北省(鄂)分别与湖南(湘)、安徽(皖)、陕西(陕)三省交界(如 图)，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求 相邻省涂不同色，现有五种不同颜色可供选用，则不同的涂色方法 有_种 解析：由题意知本题是一个分步乘法计数问题，首先涂陕西， 有 5 种结果，再涂湖北省，有 4 种结果，第二步涂安徽，有 4 种结 果，再涂湖南有 4 种，即 5444320. 答案：320 7某城市在中心广场建造了一个花园，花园分为 6 个部分(如 图所示)，现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分 不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种(用数字作答) 解析：根据 6 个部分的对称性，按同色、不同色进行分类： (1)4,6 同色，1 有四种颜色可选，5 有三种颜色可选，4 有两种 颜色可选，2 有两种颜色可选，3 只有一种颜色可选，共有 4322148(种) (2)4,6 不同色，1 有四种颜色可选，5 有三种颜色可选，4 有两 种颜色可选，6 有一种颜色可选，若 2 与 4 同色，则 3 有两种，若 2 与 4 不同色，则 3 有一种，共有 4321(21)72(种) 故共有 120 种不同的栽种方法 答案：120 三、解答题 8从 1 到 200 的自然数中，各个数位上都不含有数字 8 的自然 数有多少个？ 解析：从整体看需分类完成， 用分类计数原理从局部看需分 步完成，用分步计数原理 第一类：一位数中除 8 外符合要求的有 8 个(0 除外)； 第二类：两位数中，十位上数字除 0 和 8 外有 8 种情况，而个 位数字除 8 外，有 9 种情况共有(89)个符合要求； 第三类：三位数中，百位上数字是 1 的，十位和个位上数字除 8 外均有 9 种情况，共有(99)种而百位数字上是 2 的只有 200 符 合 所以总共有 889991162(个) 9某人有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图 所示的 6 个点 A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条 线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方 法共有多少种？ 解析：第一步，在点 A1，B1，C1上安装灯泡，A1有 4 种方法， B1有 3 种方法，C1有 2 种方法，共有 43224(种)方法 第二步，从 A，B，C 中选一个点安装第 4 种颜色的灯泡，有 3 种方法 第三步，再给剩余的两个点安装灯泡，共有 3 种方法， 由分步乘法计数原理可得，共有 43233216(种)方 法 10已知集合 Aa，b，c，集合 B1,0,1 (1)从集合 A 到 B 能构造多少个不同的映射？ (2)满足 f(a)f(b)f(c)0 的映射有多少个？ 解析：(1)每个元素 a，b，c 都可以有 3 个象和它对应，故从 A 到 B 能构造 33327 个不同的映射 (2)列表如下： f(a)0001111 f(b)0110110 f(c)0111001 从表中可知满足 f(a)f(b)f(c)0 的映射有 7 个 11用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一 种颜色. 14 23 (1)共有多少种不同的涂色方法？ (2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同 的涂色方法？ 解析：(1)由于 1 至 4 号区域各有 5 种不同的涂法，故依分步计 数原理知，不同的涂色方法有 54625(种) (2)第一类：1 号区域与 3 号区域同色时，有 541480(种)涂 法； 第二类：1 号区域与 3 号区域异色时，有 5433180(种) 涂法 依据分类计数原理知，不同的涂色方法有 80180260(种).