1、（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= -x2+x+m2-3m+2 与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。（1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动） j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长； k 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一 点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF 到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。xyO11OABCDEPyx图1解：（1）拋物线y= -x2+x+m2-3m+2经过原点，m2-3m+2=0，解得m1=1，m2=2，由题意知m1，m=2，拋物线的解析式为y= -x2+x，点B(2，n)在拋物线y= -x2+x上，n=4，B点的坐标为(2，4)。 （2）j 设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为 y=2x，A点是拋物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为（a，2a），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。可求得点C的坐标为（3a，2a），由C点在拋物线上，得2a= -(3a)2+3a，即a2-a=0，解得a1=，a2=0（舍去），OP=。 k 依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，由点A(10，0)，点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y= -x+5，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况： 第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。如图2所示。可证DPQ为等腰直角三角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。PQ=DP=4t，t+4t+2t=10，t=。 第二种情况：PC与MN在同一条直线上。如图3所示。可证PQM为等腰直角三角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。OQ=10-2t，F点在直线AB上，FQ=t，MQ=2t，PQ=MQ=CQ=2t，t+2t+2t=10，t=2。 第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。t+2t=10，图4yxBOQ(P)NCDMEFt=。综上，符合题意的t值分别为，2， 。xyOAM(C)B(E)DPQFN图3ExOABCyPMQNFD图22、（2010北京）问题：已知ABC中，BAC=2ACB，点D是ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究DBC与ABC度数的比值。 请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当BAC=90时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB与AC的数量关系为 ； 当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为 ；可得到DBC与ABC度数的比值为 ； (2) 当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。ACB解：(1) 相等；15；1：3。(2) 猜想：DBC与ABC度数的比值与(1)中结论相同。 证明：如图2，作KCA=BAC，过B点作BK/AC交CK于点K， 连结DK。BAC90，四边形ABKC是等腰梯形， CK=AB，DC=DA，DCA=DAC，KCA=BAC，BACDK123456图2 KCD=3，KCDBAD，2=4，KD=BD， KD=BD=BA=KC。BK/AC，ACB=6， KCA=2ACB，5=ACB，5=6，KC=KB， KD=BD=KB，KBD=60，ACB=6=60-1， BAC=2ACB=120-21， 1+(60-1)+(120-21)+2=180，2=21， DBC与ABC度数的比值为1：3。3、（2010郴州）如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.（1）求点A的坐标；（2)当b=0时（如图（2），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由. 第26题图（1）图（2）解：（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，4）（2）当b0时，直线为，由解得， 所以B、C的坐标分别为（2，2），（2，2） ，所以（利用同底等高说明面积相等亦可）当时，仍有成立. 理由如下由，解得， 所以B、C的坐标分别为（，+b），（，+b），作轴，轴，垂足分别为F、G，则，而和是同底的两个三角形，所以. （3）存在这样的b.因为所以，所以，即E为BC的中点所以当OE=CE时，为直角三角形，因为所以 ，而所以，解得，所以当b4或2时，OBC为直角三角形. 4、（2010滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?解：解：由抛物线的对称性可知AM=BM在RtAOD和RtBMC中，OD=MC，AD=BC，AODBMCOA=MB=MA设菱形的边长为2m，在RtAOD中，解得m=1DC=2，OA=1，OB=3A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，）设抛物线的解析式为y=（2）2+ 代入A点坐标可得=抛物线的解析式为y=（2）2+设抛物线的解析式为y=（一2）2+k，代入D（0，）可得k=5所以平移后的抛物线的解析式为y=（一2）2+5，平移了5一=4个单位 5、（2010长沙）已知：二次函数的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，b），其中且、为实数（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1x2 |的范围解：（1）一次函数过原点设一次函数的解析式为y=kx一次函数过（1，b） y=bx （2）y=ax2+bx2过（1，0）即a+b=2 由得 方程有两个不相等的实数根方程组有两组不同的解两函数有两个不同的交点 （3）两交点的横坐标x1、x2分别是方程的解 或由求根公式得出。 ab0，a+b=2 2a1令函数 在1a2时y随a增大而减小 6、（2010长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动设运动时间为t秒（1）用t的式子表示OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当OPQ与PAB和QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比BAPxCQOy第26题图解：（1）CQt，OP=t，CO=8 OQ=8tSOPQ（0t8）（2）S四边形OPBQS矩形ABCDSPABSCBQ32 四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32 （3）当OPQ与PAB和QPB相似时, QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是QPB90 又BQ与AO不平行 QPO不可能等于PQB，APB不可能等于PBQ根据相似三角形的对应关系只能是OPQPBQABP ，解得：t4 经检验：t4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P（，0）B（，8）且抛物线经过B、P两点，抛物线是，直线BP是：设M（m, ）、N(m，) M在BP上运动 与交于P、B两点且抛物线的顶点是P当时， 当时，MN有最大值是2设MN与BQ交于H 点则、SBHMSBHM ：S五边形QOPMH3:29当MN取最大值时两部分面积之比是3：29 7、（2010常德）如图9，已知抛物线轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点.（1）求此抛物线的解析式；（2）设E是线段AB上的动点，作EFAC交BC于F，连接CE，当的面积是面积的2倍时，求E点的坐标；（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标.ABOC图9yx解：（1）由二次函数与轴交于、两点可得：解得：故所求二次函数的解析式为（2）SCEF=2 SBEF, ，EF/AC，BEFBAC，得故E点的坐标为(,0).（3）解法一：由抛物线与轴的交点为，则点的坐标为（0，2）若设直线的解析式为，则有解得： 故直线的解析式为若设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为（则有：即当时，线段取大值