中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报杯”2011年全国初中数学竞赛试题题 号一二三总 分156101112 1314得 分评卷人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答；2解答书写时不要超过装订线；3草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1设，则代数式的值为( ).（A）24 （B）25 （C） （D）2对于任意实数，定义有序实数对与之间的运算“”为：（）（）（）如果对于任意实数 都有（）（）（），那么（）为( ).（A）（0，1） （B）（1，0） （C）（1，0） （D）（0，-1）3若，且满足，则的值为( ).（A）1 （B）2 （C） （D）4点分别在的边上，相交于点，设，则与的大小关系为( ).（A） （B） （C） （D）不能确定5设，则的整数部分等于( ).（A）4 （B）5 （C）6 （D）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是 .7一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8如图，点为直线上的两点，过两点分别作y轴的平行线交双曲线（）于两点. 若，则 的值为 .（第10题）（第8题）9若的最大值为a，最小值为b，则的值为 . 10如图，在RtABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于ABC，且其边长为12，则ABC的周长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值. 12如图，点为的垂心，以为直径的和的外接圆相交于点，延长交于点，求证：点为的中点.（第12题）13如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.（1）求证：=；（2）若点的坐标为（0，1），且=60，试求所有满足条件的直线的函数解析式. （第13题）14如图，ABC中，点P在ABC内，且，求ABC的面积（第14题）中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题1A解：因为， ， ， 所以2B解：依定义的运算法则，有即对任何实数都成立. 由于实数的任意性，得（）=（1，0）3C解：由题设可知，于是，所以 ，故，从而于是4C（第4题）解：如图，连接，设，则，从而有因为，所以5A解：当时，因为，所以 . 于是有，故的整数部分等于4二、填空题63m4解：易知是方程的一个根，设方程的另外两个根为，则，显然，所以 0，即 ，0，所以， 0，解之得 3m4.7解： 在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是. 86 解：如图，设点的坐标为，点的坐标为,则点的坐标为，点的坐标为 因为点在双曲线上，所以（第8题）由于， 又因为，于是所以 即 9解：由0，且0，得由于，所以当时，取到最大值1，故当或1时，取到最小值，故所以，1084解：如图，设BCa，ACb，则1225 （第10题）又RtAFERtACB，所以，即，故 由得 ，解得ab49（另一个解25舍去），所以三、解答题11解：设方程的两个根为，其中为整数，且，则方程的两根为，由题意得，两式相加得 ， 即 ， 所以 或 解得 或又因为 所以；或者，故，或29.12证明：如图，延长交于点，连接.因为为的直径，（第12题）所以90，故为的直径.于是. 又因为点为的垂心，所以 所以，四边形为平行四边形. 所以点为的中点.13解：（1）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为 ,.由（第13题）得 ，于是 ，即 . 于是 又因为，所以. 因为，所以， 故=.（2）解法一 设，不妨设0，由（1）可知=，=，=， 所以 =，=.因为，所以.于是，即，所以由（1）中，即，所以于是可求得 将代入，得到点的坐标（，）. 再将点的坐标代入，求得 所以直线的函数解析式为.根据对称性知，所求直线的函数解析式为，或.解法二 设直线的函数解析式为,其中.由（1）可知，=，所以.故 .将代入上式，平方并整理得，即.所以 或 又由 (1)得，.若代入上式得 从而 .同理，若 可得 从而 .所以，直线的函数解析式为，或.14解：如图，作ABQ，使得则ABQACP . 由于，所以相似比为2.于是（第14题）. 由知，于是所以 ，从而于是 . 故 10