2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1已知，则的值为 （ ）A1. B. C. D.2已知的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 （ ）A5. B6. C7. D8.3方程的解的个数为 （ ）A1个 B2个 C3个 D4个.4今有长度分别为1，2，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ ）A5组. B7组. C9组. D11组.5如图，菱形ABCD中，则（ ）A. B. C. D.6已知，则的值为 （ ）A1. B. C2. D.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1在ABC中，已知，则 2二次函数的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若ABD和OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则 3能使是完全平方数的正整数n的值为 4如图，已知AB是O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果，D为EF的中点，则AB 第二试 （A）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根求的值二（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，对角线交于点，且，为的中点求证：（1）；（2）三（本题满分25分）已知为正整数，设，O为坐标原点若，且（1）证明：；（2）求图象经过三点的二次函数的解析式第二试 （B）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，对角线交于点，且求证：三（本题满分25分）已知为正整数，设，O为坐标原点若，且）求图象经过三点的二次函数的解析式第二试 （C）一（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二（本题满分25分）如图，已知为锐角内一点，过分别作的垂线，垂足分别为，为的平分线，的延长线交于点如果，求证：是的平分线三（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第三题相同.2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第8页（共8页）答案第一试一、选择题1、【答】B.由可得，即，即，即，所以2、【答】B.设的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为显然，于是由三边关系，得 解得所以的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.3、【答】C.当时，方程为，即，解得，均满足当时，方程为，即，解得，满足综上，原方程有3个解4、【答】C.显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等又因为，所以正方形的边长不大于由于； ； ； ； 所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。故满足条件的“线段组”的组数为14595、【答】 D.过F作AB的垂线，垂足为H，又，从而FHE是等腰直角三角形，所以HEFH， 6、【答】C.由已知等式得，所以于是，所以 ，即。代入，得，解得所以 二、填空1、【答】 。延长AB到D，使BDBC，连线段CD，则，所以CACD。作于点E，则E为AD的中点，故，.在RtBCE中，所以，故 2、【答】 2由已知，得，过D作于点E，则，即，得，所以或又，所以又，即，得3、【答】 11.当时，若它是完全平方数，则n必为偶数若，则；若，则；若，则；若，则。所以，当时，都不是完全平方数当时，若它是完全平方数，则为一奇数的平方。设（k为自然数），则由于和一奇一偶，所以，于是，故4、【答】 24. 设，则连AD，BC因为AB为O的直径，AF为O的切线，所以又因为D为RtAEF的斜边EF的中点， ， ， ， 在RtAEF中，由勾股定理得 ，即 设，由相交弦定理得 ，即， 又 ， 又， ，从而在RtACB中，由勾股定理得 ，即， 联立，解得所以 第二试A1、解 依次将题设中所给的四个方程编号为，设是方程和方程的一个相同的实根，则 两式相减，可解得5分设是方程和方程的一个相同的实根，则两式相减，可解得。所以 10分又方程的两根之积等于1，于是也是方程的根，则。又 ，两式相减，得 15分若，则方程无实根，所以，故于是 又，解得 20分2、证明 （1）由已知得 ，从而四点共圆，为直径，为该圆的圆心 5分作于点，知为的中点，所以，从而 10分（2）作于点，则又， ， 15分 RtRt， ，又，所以，故，所以 25分3、解 （1）因为，所以，即由，得5分又，从而有，即 10分（2）由，知是关于x的一元二次方程 的两个不相等的正整数根，从而，解得。又为正整数，故或 15分当时，方程为，没有整数解当时，方程为，两根为综合知： 20分设图象经过三点的二次函数的解析式为，将点的坐标代入得 ，解得所以，图象经过三点的二次函数的解析式为25分 第二试B2证明 由已知得 ，从而四点共圆，为直径设为AC的中点，则为四边形ABCD的外接圆的圆心5分作于点，则M为BD的中点,所以，从而 10分作于点，则又， ， 15分 RtRt，又，所以，所以，所以25分3解 因为，所以 ，即由，得5分又，从而有，即 10分又，故是关于x的一元二次方程 的两个不相等的正整数根，从而，解得。又为正整数，故或 15分当时，方程为，没有整数解当时，方程为，两根为综合知： 20分设图象经过三点的二次函数的解析式为，将点的坐标代入得 ，解得所以，图象经过三点的二次函数的解析式为 25分第二试C2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第7页（共8页）证明 如图1，作于点，于点，于点，于点设， ， 5分若，如图2，作，分别交于点，则， ， 若，则若，同理可证 15分， ， ， 20分又， 又因为是的平分线，所以， 显然，即， ，是的平分线 25分