一、填空题 1已知 00，b0，则 2的最小值是_ 1 a 1 bab 解析： 22 24， 1 a 1 bab 1 abab 当且仅当 ab1 时取“” 答案：4 4不等式 4xa2x10 对一切 xR 恒成立，则 a 的取值范围是_ 解析：由题可得 a2x恒成立，由基本不等式可知2x2，所以 1 2x 1 2x a2. 答案：2，) 5当 x22x0，b0，且不等式 0 恒成立，则实数 k 的最小值等于 1 a 1 b k ab _ 解析：由 0 得 k，而 24(ab 时取等 1 a 1 b k ab ab2 ab ab2 ab b a a b 号)，所以4，因此要使 k恒成立，应有 k4，即实 ab2 ab ab2 ab 数 k 的最小值等于4. 答案：4 8已知 m、n、s、tR，mn2， 9，其中 m、n 是常数，且 st 的 m s n t 最小值是 ，满足条件的点(m，n)是圆(x2)2(y2)24 中一弦的中点，则此 4 9 弦所在的直线方程为_ 解析：因(st)( )mnmn2， m s n t tm s sn tmn 所以 mn24， mn 从而 mn1，得 mn1，即点(1,1)， 而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为1， 从而此弦的方程为 xy20. 答案：xy20 9从等腰直角三角形纸片 ABC 上，剪下如图所示的两个正 方形，其中 BC2，A90，则这两个正方形的面积之和 的最小值为_ 解析：设两个正方形边长分别为 a，b，则由题意可得 ab1，且 a，b ，Sa2b22()2 ，当且仅当 ab 时取等号 1 3 2 3 ab 2 1 2 1 2 答案： 1 2 二、解答题 10已知 lg(3x)lg ylg(xy1) (1)求 xy 的最小值； (2)求 xy 的最小值 解析：由 lg(3x)lg ylg(xy1)，得Error!Error! (1)x0，y0， 3xyxy121，3xy210， xyxy 即 3()2210， xyxy (31)(1)0，1，xy1， xyxyxy 当且仅当 xy1 时，等号成立xy 的最小值为 1. (2)x0，y0，xy13xy3()2， xy 2 3(xy)24(xy)40， 3(xy)2(xy)20，xy2， 当且仅当 xy1 时取等号，xy 的最小值为 2. 11在锐角ABC 中，已知内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，向量 m(2sin (AC)，)，n(cos 2B，2cos2 1)，且向量 m、n 共线 3 B 2 (1)求角 B 的大小； (2)如果 b1，求ABC 的面积 SABC的最大值 解析：(1)mn， 2sin (AC)(2cos2 1)cos 2B0. B 23 又ACB， 2sin Bcos Bcos 2B，即 sin 2Bcos 2B. 33 tan 2B，又ABC 是锐角三角形，00)， 且当 V2 时， 8，所以 k16， k V 所以 y1(V0.5)V0.5(V0.5) 16 V 16 V (2)yV0.57.5， 16 V 并且仅当 V，即 V4 时等号成立， 16 V 所以，博物馆支付的总费用的最小值为 7.5 千元 (3)设 S(单位：平方米)为底面正方形的面积，由题意得不等式： V0.58，V2S， 16 V 代入整理得 4S217S160， 解得 1.41S2.84. 8.5 8.25 4 8.5 8.25 4 又底面正方形的面积最小不得少于 1.11.11.21，所以，保护罩的底面积的最 小值是 1.4 平方米