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一、填空题 1已知ABC 和点 M 满足0.若存在实数 m 使得m MA MB MC AB AC 成立,则 m_. AM 解析:由题目条件可知,M 为ABC 的重心, 连结 AM 并延长交 BC 于 D, 则, AM 2 3AD 因为 AD 为中线, 则23, AB AC AD AM 所以 m3. 答案:3 2如图所示,D,E,F 分别是ABC 的边 AB,BC,C A 的 中点,则_. AD BE CF 解析:,得 AD DB AD BE DB BE DE FC AD 0(或0) BE CF AD BE CF AD DF CF AF CF 答案:0 3如图,命题:点 P,Q 是线段 AB 的三等分点,则有 OP ,把此命题推广,设点 A1,A2,A3,An1 OQ OA OB 是 AB 的 n 等分点(n3),则有 12n1_( ) OA OA OA OA OB 解析:当 n3 时,则应填 1, 当 n4 时, 1233 33 ( OA OA OA OA 1 4AB 2 4AB 3 4AB OA 3 2AB OA 3 2 ) (),由归纳推理知填. OB OA 3 2 OA OB n1 2 答案: n1 2 4已知 a,b 是不共线的向量,若1ab,a2b(1,2R),则 AB AC A、B、C 三点共线的充要条件为_ 解析:A、B、C 三点共线12110121. AB AC 答案:1210 5O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP (),0,),则点 P 的轨迹一定通过ABC 的_ OA AB AC 心 解析:由题意得,(),令,则 AD 与 BC 互相平分, AP AB AC AB AC AD 又,即 P 点在直线 AD 上,而 AD 在 BC 边的中线上,所以 P 点的轨 AP AD 迹必经过ABC 的重心 答案:重 6a,b 是两个不共线的向量,若2akb,ab,2ab,且 AB CB CD A、B、D 三点共线,则实数 k 的值等于_ 解析:由于 A、B、D 三点共线,故,又 AB BD 2akb,a2b,故由 2akb(a2b)可解得 k4. AB BD CD CB 答案:4 7已知两个不共线的向量,的夹角为 ,且|3.若点 M 在直线 OB 上, OA OB OA 且|的最小值为 ,则 的值为_ OA OM 3 2 解析:如图作向量,则,其中点 N AN OM OA OM ON 在直线 AC 上变化,显然当 ONAC 时,即点 N 到达 H 时, |有最小值,且OAH,从而 sin ,故 或 (根据对称性 ON 3 2 3 1 2 6 5 6 可知钝角也可以) 答案: 或 6 5 6 8已知 O 是正三角形 ABC 内部的一点,230,则OAB 的面 OA OB OC 积与OAC 的面积比值是_ 解析:分别延长 OB 到 B1,OC 到 C1,使2,3,故 OB1 OB OC1 OC 0,所以 O 为AB1C1的重心,则 SOAB1SOAC1, OA OB1 OC1 . S OAB S OAC S OAB1 2 S OAC1 3 3 2 答案: 3 2 9若a,b,下列向量中能表示AOB 平分线上的向量的是 OA OB OM _ (), 由确定 a |a| b |b| a |a| b |b| OM (), 由确定 ab |ab| |b|a|a|b |a|b| OM 解析:由平面几何知识知AOB 的平分线可视为以 OA,OB 所在线段为邻边的 菱形的对角线 OM 所在的直线,故(),其中 由确定 OM a |a| b |b| OM 答案: 二、解答题 10如图所示,ABCD 是一个梯形,ABCD 且 AB2CD,M,N 分别是 DC 和 AB 的中点,已知 a,b,试用 a,b 表示和. AB AD BC MN 解析:连结 CN,N 是 AB 的中点, DCAB,且 DCAN, 四边形 ANCD 是平行四行形, 则b. CN AD 又0,且a, CN NB BC AB ab, BC NB CN 1 2 ab. MN CN CM CN 1 2AN 1 4 11设 i、j 分别是平面直角坐标系 Ox,Oy 正方向上的单位向量,且 2imj,n ij,5ij,若点 A、B、C 在同一条直线上,且 OA OB OC m2n,求实数 m、n 的值 解析:(n2)i(1m)j, AB OB OA (5n)i(2)j. BC OC OB 点 A、B、C 在同一条直线上, AB BC 即, AB BC (n2)i(1m)j(5n)i(2)j, Error!Error!,解得Error!Error!或Error!Error!. 12如图,在OAB 中,AD 与 BC OC 1 4OA OD 1 2OB 交于点 M,设a,b. OA OB (1)用 a、b 表示; OM (2)已知在线段 AC 上取一点 E,在线段 BD 上取一点 F,使 EF 过 M 点,设 p,q,求证:1. OE OA OF OB 1 7p 3 7q 解析:(1)设m an b,则 OM (m1)an b,a b. AM AD 1 2 点 A、M、D 共线,与共线, AM AD ,m2n1. m1 1 n 1 2 而(m )an b, CM OM OC 1 4 ab. CB 1 4 C、M、B 共线,与共线, CM CB ,4mn1. m1 4 1 4 n 1 联立可得 m ,n , 1 7 3 7 a b. OM 1 7 3 7 (2)证明:( p)a b,p aq b, EM 1 7 3 7 EF 与共线, , EF EM 1 7p p 3 7 q qpq p,即1. 1 7 3 7 1 7p 3 7q
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