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一、填空题 1已知 z2xy,式中变量 x,y 满足约束条件Error!Error!则 z 的最大值为 _ 解析:根据约束条件画出可行域,如图所示,可求得 A(2,2),B( , ),C(2,1)作出目标函数直线 1 2 1 2 y2xz,当直线经过点 C(2,1)时,z 取最大值, zmax5. 答案:5 2在约束条件Error!Error!下,的最小值为_ x12y2 解析:画出线性约束条件下的可行域(如图阴影部分),所 求的的几何意义就是点(1,0)与阴影部分内的 x12y2 点之间的距离,其最小值为点(1,0)到直线 x2y10 的距离, 可求得的最小值为 x12y2 . |12 01| 1222 2 5 5 答案: 2 5 5 3若 x、y 满足 Error!Error!,则 z的最大值是_ y1 x1 解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)z 可看作可行域上的点(x,y)与定点 B(1,1)连线的斜 y1 x1 率由图可知 z的最大值为 kAB3. y1 x1 答案:3 4已知点 P(x,y)的坐标满足条件Error!Error!点 O 为坐标原点,那么|PO|的最小值等 于_,最大值等于_ 解析:画出约束条件对应的可行域,如图,|PO|表示可 行域上的点到原点的距离,从而使|PO|取得最小值的最优 解为点 A(1,1);使|PO|取得最大值的最优解为点 B(1,3) |PO|min, |PO|max. 210 答案: 210 5现要挑选 x 名女同学,y 名男同学参加某项游戏活动,其中 x 和 y 满足约束 条件Error!Error!则挑选出男女同学总数和的最大值为_ 解析:画图得可行域为一个三角形,其三个顶点分别为 (4,0),(4,8),(0,4),把此三点坐标代入 zxy,知点在 (4,8)时,zxy 的最大值是 4812,应填 12. 答案:12 6在平面直角坐标系中,不等式组Error!Error!所表示的平面区 域的面积是 9,那么实数 a 的值为_ 解析:由题易知当 a2 时,不等式组表示的平面区域不存 在;当 a2 时,不等式组表示的平面区域为三角形 ABC, 如图所示,分别求出三条直线的交点坐标:A(a,a4), B(a,a),C(2, 2),故|AB|a4(a)2a4,点 C 到 直线 AB 的距离为 da(2)a2,所以三角形 ABC 的面积 S (2a4)(a2)9,解得 a1 或 a5(舍去) 1 2 答案:1 7不等式Error!Error!(k1)所表示的平面区域为 M,若 M 的面积为 S,则的最小 kS k1 值为_ 解析:作出不等式组所表示的平面区域,易知 M 的面积 S 44k8k. 1 2 k1,k10. 于是,8(k1)1632,当且仅当 8(k1),即 kS k1 8k2 k1 8 k1 8 k1 k2 时取等号 答案:32 8设不等式组Error!Error!表示的平面区域为 D.若指数函数 yax的图象上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是_ 解析:作出不等式组表示的平面区域 D,如图阴影部分所示 由Error!Error!得交点 A(2,9) 对 yax的图象,当 01,yax恰好经过 A 点时,由 a29,得 a3. 要满足题意,需满足 a29,解得 10),求实数 m 的范围 解析:设 A(x,y)|Error!Error!,B(x,y)|x2y2m2(m0),则集合 A 表示的区 域为图中阴影部分,集合 B 表示以坐标原点为圆心,m 为半径的圆及其内部, 由 AB 得,m|PO|,由 Error!Error!, 解得Error!Error!,即 P(3,4), |PO|5,即 m5. 11已知函数 f(x)x3ax2bxc 的一个零点为 x1,另外两个零点可分别作 为一个椭圆、一个双曲线的离心率 (1)求 abc; (2)求 的取值范围 b a 解析:(1)f(1)0,abc1. (2)由 c1ab,f(x)x3ax2bx1ab (x1)x2(a1)xab1, 从而另两个零点为方程 x2(a1)xab10 的两根,且 一根大于 1,一根小于 1 而大于零,设 g(x)x2(a1) xab1,由根的分布知识画图可得Error!Error!,即Error!Error!,作出 可行域如图所示而 表示可行域中的点(a,b)与原点 b a b0 a0 连线的斜率 k,直线 OA 的斜率 k1 ,直线 2ab30 的斜率 1 2 k22,k(2, ),即 (2, ) 1 2 b a 1 2 12某公司仓库 A 存有货物 12 吨,仓库 B 存有货物 8 吨,现按 7 吨、8 吨和 5 吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店,从仓库 A 运货物到商店甲、乙、丙, 每吨货物的运费分别为 8 元、6 元、9 元;从仓库 B 运货物到商店甲、乙、丙, 每吨货物的运费分别为 3 元、4 元、5 元问应如何安排调运方案,才能使得从 两个仓库运货物到三个商店的总运费最少? 解析:将已知数据列成下表: 商 店 每吨运费 仓 库 甲乙丙 A869 B345 设仓库 A 运给甲、乙商店的货物分别为 x 吨,y 吨, 则仓库 A 运给丙商店的货物为(12xy)吨, 从而仓库 B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7x)吨、(8y)吨、 5(12xy)(xy7)吨, 于是总运费为 z8x6y9(12xy)3(7x)4(8y)5(xy7) x2y126. 线性约束条件为Error!Error!,即Error!Error!, 目标函数为 zx2y126. 作出上述不等式组表示的平面区域,即可行域,如图所示 作出直线 l:x2y0,把直线 l 平行移动,显然当直线 l 移动到过点(0,8)时, 在可行域内 zx2y126 取得最小值 zmin028126110,则 x0, y8 时总运费最小 安排的调运方案如下:仓库 A 运给甲、乙、丙商店的货物分别为 0 吨、8 吨、 4 吨,仓库 B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为 7 吨、0 吨、1 吨,此时可使得 从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少
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