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一、填空题 1已知函数 f(x)x24(1a)x1 在1,)上是增函数,则实数 a 的取值范 围是_ 解析:对称轴方程为 x2(a1),f(x)在1,)上是增函数,所以 2(a1) 1,解得 a . 3 2 答案:( ,3 2 2函数 y的单调递减区间是_ x22x3 解析:由x22x30,得函数定义域为x|3x1令 tx22x3, 则它的单调递减区间为1,1,而 y为增函数,所以所求单调递减区间是 t 1,1 答案:1,1 3函数 f(x)4x2mx5 在区间2,)上是增函数,在区间(, 2上 是减函数,则 f(1)_. 解析:由题意得,对称轴为 x2,所以 2,即 m16,所以 f(x) m 8 4x216x5,f(1)416525. 答案:25 4若函数 f(x)loga(2x2x)(a0,a1)在区间(0, )内恒有 f(x)0,则 f(x)的单 1 2 调递增区间是_ 解析:当 x(0, )时,2x2x(0,1), 1 2 由 f(x)在(0, )内恒有 f(x)0 知: 1 2 0f(2x)的解集为_ 解析:由题意知Error!Error!x2. 答案:(2,) 8已知函数 f(x)Error!Error!则“c1”是“函数 f(x)在 R 上递增”的_条 件 解析:若函数 f(x)在 R 上递增,则需 log2 1c1,即 c1,由于 c1c1,但 c1/ c1,所以“c1”是“f(x)在 R 上递增” 的充分不必要条件 答案:充分不必要 9定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x2),当 x3,5时,f(x)2|x4|.下 列不等关系: f(sin )f(cos 1); 6 6 f(cos )f(sin 2) 2 3 2 3 其中正确的是_(填序号) 解析:当 x1,1时,x43,5,从而 f(x)f(x4)2|x|,因为 sin f(cos ); 6 6 6 因为 sin 1cos 1,所以 f(sin 1)f(sin ); 2 3 2 3 因为|cos 2|f(sin 2) 综上所述,正确的是. 答案: 二、解答题 10已知函数 f(x) (a0,x0) 1 a 1 x (1)求证:f(x)在(0,)上是单调递增函数; (2)若 f(x)在 , 2上的值域是 ,2,求 a 的值 1 2 1 2 解析:(1)证明:设 x2x10,则 x2x10,x1x20, f(x2)f(x1)( )( ) 1 a 1 x2 1 a 1 x1 0, 1 x1 1 x2 x2x1 x1x2 f(x2)f(x1), f(x)在(0,)上是单调递增函数 (2)f(x)在 ,2上的值域是 ,2, 1 2 1 2 又 f(x)在 ,2上单调递增, 1 2 f( ) ,f(2)2,解得 a . 1 2 1 2 2 5 11已知函数 f(x)对任意的 a、bR 都有 f(ab)f(a)f(b)1,且当 x0 时, f(x)1. (1)求证:f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f (4)5,解不等式 f(3m2m2)0. f(x2x1)1. f(x2)fx1(x2x1)f(x1)f(x2x1)1f(x1), f(x)是 R 上的增函数 (2)f(4)f(2)f(2)15, f(2)3. f(3m2m2)0,那么该函数在(0, 上是 a xa 减函数,在,)上是增函数 a (1)如果函数 yx在(0,4上是减函数,在4,)上是增函数,求实常数 b 2b x 的值; (2)设常数 c1,4,求函数 f(x)x (1x2)的最大值和最小值; c x (3)当 n 是正整数时,研究函数 g(x)xn(c0)的单调性,并说明理由 c xn 解析:(1)由已知,42b16b4. 2b (2)f(x)x 在(0, 上是减函数,在,)上是增函数 c xcc c1,4,1,2, c f(x)的最小值为2. c c cc 当 1c0),令 txn,g(x)t . c xn c t nN*,当 x0 时,txn是增函数, t0,函数 yt 在(0,上是减函数,在,)上是增函数, c tcc g(x)在(0,上为减函数,在,)上是增函数 1 c2n 1 c2n 当 n 为奇数时,g(x)在,0,(0,上是减函数, 1 c2n 1 c2n 在(,)上是增函数 1 c2n 1 c2n 当 n 为偶数时,g(x)在(,),(0,)上是减函数, 1 c2n 1 c2n 在,0), ,)上是增函数 1 c2n 1 c2n
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