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课时作业课时作业 4747 椭圆椭圆 一、选择题 1(2018河北张家口模拟)椭圆1 的焦点坐标为( ) x2 16 y2 25 A(3,0) B(0,3) C(9,0) D(0,9) 解析:根据椭圆方程可得焦点在x轴上,且c2a2b225169,c3,故焦点 坐标为(0,3)故选 B. 答案:B 2(2018湖南长沙一模)椭圆的焦点在x轴上,中心在原点,其上、下两个顶点和两 个焦点恰为边长是 2 的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为( ) A.1 B.y21 x2 2 y2 2 x2 2 C.1 D.1 x2 4 y2 2 y2 4 x2 2 解析:由条件可知bc,a2,所以椭圆的标准方程为1.故选 C. 2 x2 4 y2 2 答案:C 3(2018上海浦东新区二模,3)方程kx24y24k表示焦点在x轴上的椭圆,则实 数k的取值范围是( ) Ak4 Bk4 Ck4 D0k4 解析:方程kx24y24k表示焦点在x轴上的椭圆,即方程1 表示焦点在x x2 4 y2 k 轴上的椭圆,可得 0k4,故选 D. 答案:D 4(2018陕西西安八校联考)某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体,其直观图和三视 图如图所示,正视图为正方形,其中俯视图中椭圆的离心率为( ) A. B. 1 2 2 4 C. D. 2 2 3 2 解析:依题意得,题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形,设其直角边长为a,则 斜边长为a,圆锥的底面半径为a、母线长为a,因此其俯视图中椭圆的长轴长为 2 2 2 a、短轴长为a,其离心率e,选 C. 2 1( a 2a)2 2 2 答案:C 5(2018泉州质检)已知椭圆1 的长轴在x轴上,焦距为 4,则m等于 x2 m2 y2 10m ( ) A8 B7 C6 D5 解析:椭圆1 的长轴在x轴上, x2 m2 y2 10m Error!解得 6b10)与双曲线C2: x2 a2 1 y2 b2 1 x2 a2 2 1(a20,b20)的公共焦点,它们在第一象限内交于点M,F1MF290,若椭圆的离 y2 b2 2 心率e1 ,则双曲线C2的离心率e2为( ) 3 4 A. B. 9 2 3 2 2 C. D. 3 2 5 4 解析:设|F1M|m,|F2M|n,mn, 则mn2a1,mn2a2,m2n24c2, 可得aa2c2 2 12 2 可得2,又e1 , 1 e2 1 1 e2 2 3 4 所以e2.故选 B. 3 2 2 答案:B 7(2018宜昌调研)已知F1,F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点,点A x2 a2 y2 b2 是椭圆上位于第一象限内的一点,O为坐标原点,|2,若椭圆的离心率为, OA OF2 OF2 2 2 则直线OA的方程是( ) Ayx Byx 1 2 2 2 Cyx Dyx 3 2 解析:设A(xA,yA),又F2(c,0),所以(xA,yA)(c,0)cxAc2,因为 OA OF2 c0,所以xAc,代入椭圆方程得1,解得yA,故kOA, c2 a2 y2 b2 b2 a b2 a c b2 ac a2c2 ac 又 ,故ca,故kOA,故直线OA的方程是yx,故选 B. c a 2 2 2 2 a2( 2 2 a)2 a 2 2 a 2 2 2 2 答案:B 8(2018江西九江模拟)椭圆1(ab0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,O为 x2 a2 y2 b2 坐标原点,点P为椭圆上一点,|OP|a,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则椭圆 2 4 的离心率为( ) A. B. 2 4 2 3 C. D. 6 3 6 4 解析:设P(x,y),则|OP|2x2y2, a2 8 由椭圆定义得,|PF1|PF2|2a, |PF1|22|PF1|PF2|PF2|24a2, 又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列, |PF1|PF2|F1F2|24c2, 则|PF1|2|PF2|28c24a2, (xc)2y2(xc)2y28c24a2,整理得x2y25c22a2, 即5c22a2,整理得 , a2 8 c2 a2 3 8 椭圆的离心率e .故选 D. c a 6 4 答案:D 9(2018江西高安模拟,5)椭圆C:1(ab0)的左焦点为F,若F关于直 x2 a2 y2 b2 线xy0 的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为( ) 3 A. B. 1 2 31 2 C. D.1 3 23 解析:设F(c,0)关于直线xy0 的对称 3 点A(m,n),则Error! m ,nc, c 2 3 2 代入椭圆方程可得1,把b2a2c2代入, c2 4 a2 3 4c2 b2 化简可得e48e240,解得e242,又 0e1,e1,故选 D. 33 答案:D 10(2017新课标全国卷文科)设A,B是椭圆C:1 长轴的两个端点若 x2 3 y2 m C上存在点M满足AMB120,则m的取值范围是( ) A(0,19,) B(0,9,) 3 C(0,14,) D(0,4,) 3 解析:方法一:设焦点在x轴上,点M(x,y) 过点M作x轴的垂线,交x轴于点N, 则N(x,0) 故 tanAMBtan(AMNBMN). 3x |y| 3x |y| 1 3x |y| 3x |y| 2 3|y| x2y23 又 tanAMBtan 120, 3 且由1 可得x23, x2 3 y2 m 3y2 m 则. 2 3|y| 33y2 m y23 2 3|y| (1f(3,m)y23 解得|y|. 2m 3m 又 03 时,焦点在y轴上, 要使C上存在点M满足AMB120, 则 tan 60,即,解得m9. a b3 m 33 故m的取值范围为(0,19,) 故选 A. 答案:A 二、填空题 11(2018苏州一模)若椭圆的两焦点与短轴的两端点在单位圆上,则椭圆的内接正 方形的边长为_ 解析:不妨设椭圆的方程为1(ab0),依题意得bc1,a,则椭圆 x2 a2 y2 b22 的方程为y21,设椭圆的内接正方形在第一象限的顶点坐标为(x0,x0),代入椭圆方 x2 2 程,得x0,所以正方形边长为. 6 3 2 6 3 答案: 2 6 3 12(2018江西赣州模拟)已知圆E:x2 2 经过椭圆C: 1(ab0) (y 1 2) 9 4 x2 a2 y2 b2 的左、右焦点F1,F2,与椭圆在第一象限的交点为A,且F1,E,A三点共线,则该椭圆的 方程为_ 解析:对于x2 2 ,当y0 时,x , (y 1 2) 9 42 F1(,0),F2(,0),E的坐标为,直线EF1的方程为, 22 (0, 1 2) y0 1 20 x 2 0 2 即yx ,由Error! 2 4 1 2 得点A的坐标为(,1), 2 则 2a|AF1|AF2|4,a2,b22, 该椭圆的方程为1. x2 4 y2 2 答案:1 x2 4 y2 2 13(2018兰州一模)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P x2 a2 y2 b2 在椭圆上,O为坐标原点,若|OP| |F1F2|,且|PF1|PF2|a2,则该椭圆的离心率为 1 2 _ 解析:由|OP| |F1F2|,且|PF1|PF2|a2,可得点P是椭圆的短轴端点,即 1 2 P(0,b),故b 2cc,故ac,即 . 1 22 c a 2 2 答案: 2 2 14(2018武汉调研)已知直线MN过椭圆y21 的左焦点F,与椭圆交于M,N两 x2 2 点直线PQ过原点O与MN平行,且PQ与椭圆交于P,Q两点,则_. |PQ|2 |MN| 解析:本题考查椭圆的几何性质因为a,b1,所以c1,当MNx轴时,由 2 通径公式知|MN|,又PQ过原点且与MN平行,所以|PQ|2b2,所以 2b2 a 2 22 2;当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为yk(x1),则直线PQ |PQ|2 |MN| 4 22 的方程为ykx,由Error!得(2k21)x24k2x2k220.设M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1x2 ,x1x2 ,所以|MN|x1x2| 4k2 2k21 2k22 2k211k21k2 ,将代入化简整理,得|MN|;同理可求得|PQ| x1x224x1x2 2 21k2 2k21 ,所以2.综上所述,2. 81k2 2k21 |PQ|2 |MN| 8 2 22 |PQ|2 |MN|2 答案:2 2 能力挑战 15(2018烟台一模)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为 2,离心率 为 . 1 2 (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l经过点M(0,1),且与椭圆C交于A,B两点,若2,求直线l的方 AM MB 程 解析:(1)设椭圆方程为1(a0,b0), x2 a2 y2 b2 因为c1, ,所以a2,b, c a 1 23 所以椭圆C的方程为1. x2 4 y2 3 (2)由题意得直线l的斜率存在,设直线l的方程为ykx1, 则由Error!得(34k2)x28kx80,且0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则由2得x12x2. AM MB 又Error!所以Error!, 消去x2,得 2 . ( 8k 34k2) 4 34k2 解得k2 ,k . 1 4 1 2 所以直线l的方程为yx1,即x2y20 或x2y20. 1 2
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