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数列4.1等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列.2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,第n项,.3.通项公式:一般地,如果数列an的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法,其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用表示 8.等差中项:如果,这三个数成等差数列,那么我们把叫做和的等差中项 二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相同而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(1,2,3,n)的函数.2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列an的前n项的和Sn与an之间的关系:若a1适合an(n2),则不用分段形式表示,切不可不求a1而直接求an.4.从函数的角度考查等差数列的通项公式:an= a1+(n-1)d=dn+ a1-d, an是关于n的一次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n,)均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前n项之和公式的理解:等差数列的前n项之和公式可变形为,若令A,Ba1,则An2+Bn.6、在解决等差数列问题时,如已知,a1,an,d,n中任意三个,可求其余两个。三、经典例题导讲例1已知数列1,4,7,10,3n+7,其中后一项比前一项大3,指出这个数列的通项公式; 例2 已知数列的前n项之和为 求数列的通项公式。例3 已知等差数列的前n项之和记为Sn,S10=10 ,S30=70,则S40等于 。例4等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若求;例5已知一个等差数列的通项公式an=255n,求数列的前n项和;例6已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前项和的公式吗?例7已知: () (1) 问前多少项之和为最 大?(2)前多少项之和的绝对值最小?例8项数是的等差数列,中间两项为是方程的两根,求证此数列的和是方程 的根。 ()4.2等比数列的通项与求和一、知识导学1. 等比数列:一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数,那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示2. 等比中项:若,成等比数列,则称 为 和 的等比中项3.等比数列的前n项和公式: 二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不为0.2.对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比,防止把相邻两项的比的次序颠倒.3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”,同时应注意如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数,此数列不是等比数列,这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.4.在已知等比数列的a1和q的前提下,利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.5.在已知等比数列中任意两项的前提下,使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.6.等比数列an的通项公式an=a1qn-1可改写为.当q0,且q1时,y=qx是一个指数函数,而是一个不为0的常数与指数函数的积,因此等比数列an的图象是函数的图象上的一群孤立的点.7在解决等比数列问题时,如已知,a1,an,d,n中任意三个,可求其余两个。三、经典例题导讲例1 已知数列的前n项之和Sn=aqn(为非零常数),则为()。A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列,也不是等比数列D.既是等差数列,又是等比数列例2 已知等比数列的前n项和记为Sn,S10=10 ,S30=70,则S40等于.例3 求和:a+a2+a3+an.例4设均为非零实数, 求证:成等比数列且公比为。例5在等比数列中,求该数列前7项之积。例6求数列前n项和4.3数列的综合应用一、知识导学1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题,需利用数列知识建立数学模型.2. 应用题成为热点题型,且有着继续加热的趋势,因为数列在实际生活中应用比较广泛,所以数列应用题占有很重要的位置,解答数列应用题的基本步骤:(1)阅读理解材料,且对材料作适当处理;(2)建立变量关系,将实际问题转化为数列模型;(3)讨论变量性质,挖掘题目的条件,分清该数列是等差数列还是等比数列,是求Sn还是求an.一般情况下,增或减的量是具体体量时,应用等差数列公式;增或减的量是百分数时,应用等比数列公式若是等差数列,则增或减的量就是公差;若是等比数列,则增或减的百分数,加1就是公比q.二、疑难知识导析 1.首项为正(或负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式解决;2.熟记等差、等比数列的定义,通项公式,前n项和公式,在用等比数列前n项和公式时,勿忘分类讨论思想;3.等差数列中, am=an+ (nm)d, ; 等比数列中,an=amqn-m; 4.当m+n=p+q(m、n、p、q)时,对等差数列an有:am+an=ap+aq;对等比数列an有:aman=apaq;5.若an、bn是等差数列,则kan+bbn(k、b是非零常数)是等差数列;若an、bn是等比数列,则kan、anbn等也是等比数列;6.等差(或等比)数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9)仍是等差(或等比)数列;7.对等差数列an,当项数为2n时,S偶-S奇nd;项数为2n1时,S奇S偶a中(n);8.若一阶线性递推数列an=kan1+b(k0,k1),则总可以将其改写变形成如下形式:(n2),于是可依据等比数列的定义求出其通项公式;三、经典例题导讲例1设是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和.证明:。 例2求数列的前n项和。 例3求数列前n项和 例4设等差数列an的前n项和为Sn,且,求数列an的前n项和4
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