第17题幂函数I题源探究黄金母题【例】已知幂函数的图象过点（2，），试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性【解析】设=，则，解得，所以=，定义域为，是非奇非偶函数，拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。，在是减函数，图像如下：精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第82页复习参考题A组第10题【母题评析】本题考查幂函数的解析式、图象、奇偶性、单调性，是基础题是高考重要考点之一【思路方法】求幂函数的解析式常用待定系数法，研究幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性常用图像法，在研究函数性质时，一定要先求定义域，注意幂函数与指数函数的区别，注意不同的幂函数定义域、图像、性质可能不同II考场精彩真题回放【例1】【2014高考浙江卷】在同一坐标系中，函数，的图象可能是（）【答案】D【解析】对A，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对B，中，中，不符合题意；对C，中，中，不符合题意；对D，中，中，符合题意；故选D【例2】【2014上海卷】若，则满足的取值范围是【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，因此的解集为【命题意图】本类题通常主要考查幂函数的图像与性质的应用【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与不等式、函数性质等数学知识相结合，考查幂函数的定义、图像与性质【难点中心】幂函数因幂指数不同其定义域、值域、图像、奇偶性、单调性也不同，故解决幂函数问题，要根据解析式，首项求函数的定义域，根据幂指数确定其图像与性质，熟记不同范围幂指数所对函数的图像与性质，是解题要熟练处理与幂函数有关的问题的关键III理论基础解题原理考点一幂函数的概念与表示一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数考点二幂函数的图像与性质 1幂函数的图象2幂函数性质定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增函数减函数，增函数增函数增函数减函数，增函数定点，IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数、不等式等数学知识结合考查幂函数的图像与性质【技能方法】 1幂函数，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准2在上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴 3幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点【易错指导】（1）在掌握幂函数时，注意幂函数系数为1，底数为自变量，指数为常数这一特征；（2）注意幂函数的指数定义域、值域、单调性、对称性与幂函数的幂指数有关；（3）注意幂函数与指数函数区别V举一反三触类旁通考向1 幂函数的概念与表示【例1】【2018河南三门峡模拟】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为()AB1 C2 D1或2【答案】B【例2】【2018宁夏银川模拟】已知幂函数的图象过点，则（）ABCD与大小无法判定【答案】A【解析】设，则，即，在上是减函数，所以故选A【跟踪练习】1【2018黑龙江哈尔滨模拟】若幂函数的图象不过原点，则的取值是（）ABCD【答案】D【解析】由幂函数的定义，可得2【2018山西45校第一次联考】幂函数在其图象上点处的切线方程为（）A B C D【答案】A【解析】将点代入得，解得，故幂函数为，因为，故切线方程为，即，故选A3【2018广西钦州模拟】使代数式(|x|-1有意义的x的取值范围是()A|x|1 B-1x1 DxR，且x1【答案】D考向2 幂函数的图像【例3】【2018湖北鄂东南省级示范高中高三上学期期中联考】若幂函数与在第一象限的图象如图所示，则与的取值情况为（）A B C D【答案】D【例4】【2018浙江诸暨模拟】下图中曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知p分别为，中的一个，则相应于曲线C1、C2、C3、C4的p值依次是（）A-2，2B，-2，2，C2，-2D2，-2，【答案】C【解析】做直线，与四个函数图象从上到下的交点依次记为，而，从而相应于曲线的n依次为2，-2，故选C【例5】【2018山东济南模拟】已知函数在区间上的最大值是，则的取值范围是【答案】【解析】，作出函数图象，如图所示，因为函数在上的最大值为，又所以，即【跟踪练习】1函数的图象是（）ABC D【答案】B【名师点睛】幂函数是重要的基本初等函数模型之一学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x来刻画其它幂函数在第一象限的凸向2【2018湖北黄冈9月质量检测】函数（，）与的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）A B C D【答案】D3【2017河南周口市上学期期末调研】已知指数函数（且）的图像恒过定点，若定点在幂函数的图像上，则幂函数的图像是（）A BC D【答案】A【解析】令，即时，即指数函数（且）的图象恒过定点，又因为定点在幂函数的图象上，所以，即，解得，则在定义域上单调递增，故选A考向3 幂函数性质【例6】【2017江西赣州模拟】幂函数的图象经过点，则是（）A偶函数，且在上是增函数 B偶函数，且在上是减函数C奇函数，且在上是增函数 D非奇非偶函数，且在上是增函数【答案】C【解析】设幂函数为，代入点，解得，所以，可知函数是奇函数，且在上是增函数，故选C【例7】【2017河南新乡二模】设，则的大小关系是（）A B C D【答案】B【例8】【2018内蒙古集宁一中模拟】设，则使得函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为（）A-1，3 B-1，1 C1，3 D-1，1，3【答案】C【解析】由题意，当时尽管也是奇函数，但定义域是，应选答案C 【跟踪练习】1设0且1 ，则“函数=在R上是减函数”，是“函数=在R上是增函数”的（）充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件【答案】A【解析】p：“函数=在R上是减函数”等价于；q：“函数=在R上是增函数”等价于，即且1，故p是q成立的充分不必要条件故选2【2018东北师大附中模拟】已知幂函数的图象关于轴对称，则下列选项正确的是（）A B C D【答案】B【解析】由于幂函数的图象关于轴对称，可知为偶函数，所以，即则有，所以，故选B3【2017浙江省余姚中学二模】已知幂函数过点，则满足的实数的取值范围是【答案】考向4 幂函数的综合应用【例9】【2018山东滕州三中模拟】已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，4），则下列判断中不正确的是（）A函数图象经过点（1，1）B当x1，2时，函数f（x）的值域是0，4C函数满足f（x）+f（x）=0D函数f（x）的单调减区间为（，0【答案】C【解析】由题意可知，所以，所以，A对，x1，2时，函数f（x）的值域是0，4，B对在（，0上单调递减，D对，偶函数，C错，选C【例10】【2018山东济宁微山县二中高三上学期第一次月考】下列命题正确的是（）A的图像是一条直线B幂函数的图像都经过点C若幂函数是奇函数，则是增函数D幂函数的图像不可能出现在第四象限【答案】D【解析】对于，函数的图象是一条直线除去点，故错误；对于，幂函数的图象都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故错误；对于，若幂函数是奇函数，且时，是定义域上的增函数，时，在及上均为减函数，故错误；由幂函数的性质，幂函数的图象一定过第一象限，不可能出现在第四象限，正确，故选D【方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查幂函数的单调性、幂函数的奇偶性、幂函数的图象与性质，属于难题这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题【例11】【2017河南濮阳模拟】当时，下列函数中图象全在直线下方的增函数是（）A B C D【答案】A【解析】因对任意，都有，故当时，函数的图象全在直线下方的函数有和，而函数是单调递增函数，函数是单调递减函数，所以应选答案A【例12】【2017河南息县一中高三下学期第三次阶段测试】若集合，则（）A B C D【答案】C【跟踪练习】1设函数，若=4，则实数=A-4或-2 B-4或2 C-2或4 D-2或2【答案】B【解析】=4 或，解得=4或=2，故选B2已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_【答案】（0，1）3若，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】不等式(a1)32a0或32aa10或a1032a解得a1或a4已知幂函数在上单调递增，函数（1）求的值；（2）当时，记的值域分别为集合，若，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（1）由幂函数的定义可得，解出的值，注意验证（2）当时，单调递增，易得的值域，由即可求实数的取值范围试题解析：（1）依题意得：，解得或当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去（2）由（1）可知，当时，单调递增，故实数的取值范围是