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6.3 数学归纳法(一) 1若命题 A(n)(nN*)在 nk(kN*)时命题成立,则有 nk1 时命题成 立现知命题对 nn0(n0N*)时命题成立,则有 ( ) A命题对所有正整数都成立 B命题对小于 n0的正整数不成立,对大于或等于 n0的正整数都成立 C命题对小于 n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于 n0的正整数 都成立 D以上说法都不正确 答案 C 解析 由已知得 nn0(n0N*)时命题成立,则有 nn01 时命题成立;在 nn01 时命题成立的前提下,又可推得 n(n01)1 时命题也成立,依 此类推,可知选 C. 2用数学归纳法证明“1aa2a2n1(a1)” 在验证 1a2n2 1a n1 时,左端计算所得项为 ( ) A1a B1aa2 C1aa2a3 D1aa2a3a4 答案 C 解析 将 n1 代入 a2n1得 a3,故选 C. 3用数学归纳法证明 12222n12n1(nN*)的过程如下: (1)当 n1 时,左边1,右边2111,等式成立 (2)假设当 nk(kN*)时等式成立,即 12222k12k1,则当 nk1 时,12222k12k2k11.所以当 nk1 12k1 12 时等式也成立由此可知对于任何 nN*,等式都成立上述证明的错误是 _ 答案 未用归纳假设 解析 本题在由 nk 成立,证 nk1 成立时,应用了等比数列的求和公 式,而未用上假设条件,这与数学归纳法的要求不符 4当 nN*时, Sn1 ,Tn, 1 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 n3 1 2n (1)求 S1,S2,T1,T2; (2)猜想 Sn与 Tn的关系,并用数学归纳法证明 解 (1)当 nN*时, Sn1 ,Tn. 1 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 n3 1 2n S11 ,S21 , 1 2 1 2 1 2 1 3 1 4 7 12 T1 ,T2. 1 11 1 2 1 21 1 22 7 12 (2)猜想 SnTn(nN*),即 1 (nN*) 1 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 n3 1 2n 下面用数学归纳法证明: 当 n1 时,已证 S1T1, 假设 nk 时,SkTk(k1,kN*), 即 1 , 1 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 k1 1 k2 1 k3 1 2k 则 Sk1SkTk 1 2k1 1 2k1 1 2k1 1 2k1 1 k1 1 k2 1 k3 1 2k 1 2k1 1 2k1 1 k2 1 k3 1 2k 1 2k1 ( 1 k1 1 2k1) 1 k11 1 k12 1 2k1 1 2k1 Tk1. 由,可知,对任意 nN*,SnTn都成立 在应用数学归纳法证题时应注意以下几点: (1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为 1; (2)递推是关键:正确分析由 nk 到 nk1 时式子项数的变化是应用数学 归纳法成功证明问题的保障; (3)利用假设是核心:在第二步证明中一定要利用归纳假设,这是数学归纳 法证明的核心环节,否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
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