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模块检测 一、选择题 1 “金导电、银导电、铜导电、锡导电,所以一切金属都导电” 此推理方法是 ( ) A完全归纳推理 B归纳推理 C类比推理 D演绎推理 答案 B 解析 由特殊到一般的推理为归纳推理故选 B. 2(2013浙江)已知 i 是虚数单位,则(1i)(2i) ( ) A3i B13i C33i D1i 答案 B 解析 (1i)(2i)2i2i113i,故选 B. 3设 f(x)10xlg x,则 f(1)等于 ( ) A10 B10ln 10lg e C.ln 10 D11ln 10 10 ln 10 答案 B 解析 f(x)10xln 10,f(1)10ln 10lg e,故选 B. 1 xln 10 4若大前提:任何实数的平方都大于 0,小前提:aR,结论:a20,那么这 个演绎推理出错在 ( ) A大前提 B小前提 C推理形式 D没有出错 答案 A 5观察下列数表规律 则数 2 007 的箭头方向是 ( ) 答案 D 解析 因上行奇数是首项为 3,公差为 4 的等差数列,若 2 007 在上行,则 2 0073(n1)4n502N*.故 2 007 在上行,又因为在上行奇数的箭 头为an,故选 D. 6函数 f(x)x3ax2bxa2在 x1 处有极值 10,则 a,b 的值为 ( ) A.Error!Error!或Error!Error! B.Error!Error! C.Error!Error! D以上都不对 答案 B 解析 f(x)3x22axb,Error!Error!,解得Error!Error!或Error!Error!.经检验 a3,b3 不合题意,应舍去 7给出下列命题: dx dtba(a,b 为常数且 a0,且 abc1, 求证:(1)a2b2c2 ;(2). 1 3abc3 证明 (1)a2 a,b2 b,c2 c, 1 9 2 3 1 9 2 3 1 9 2 3 a b c .a2b2c2 . (a2 1 9) (b2 1 9) (c2 1 9) 2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 (2),三式相加得 a1 3 a1 3 2 b1 3 b1 3 2 c1 3 c1 3 2 a 3 b 3 c 3 (abc) 1,. 1 2 1 2abc3 17是否存在常数 a,b,使等式 12 1 3 22 3 5 n2 2n12n1 对一切 nN*都成立?若不存在,说明理由;若存在,请用数学归纳 an2n bn2 法证明 解 若存在常数 a,b 使等式成立, 则将 n1,n2 代入上式, 有Error!Error!得 a1,b4, 即有 12 1 3 22 3 5 n2 2n12n1 对于一切 nN*都成立 n2n 4n2 证明如下: (1)当 n1 时,左边 , 12 1 3 1 3 右边 ,所以等式成立 11 4 12 1 3 (2)假设 nk(k1,且 kN*)时等式成立,即 , 12 1 3 22 3 5 k2 2k12k1 k2k 4k2 当 nk1 时, 12 1 3 22 3 5 k2 2k12k1 k12 2k12k3 k2k 4k2 k12 2k12k3 k1 2k1( k 2 k1 2k3) k1 2k1 2k25k2 22k3 k1 2k1 2k1k2 22k3 , k1k2 4k6 k12k1 4k12 也就是说,当 nk1 时,等式成立, 综上所述,等式对任何 nN*都成立 18(2013广东)设函数 f(x)(x1)exkx2(其中 kR) (1)当 k1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 k时,求函数 f(x)在0,k上的最大值 M. ( 1 2,1 解 (1)当 k1 时,f(x)(x1)exx2,f(x)ex(x1) ex2xxex2xx(ex2) 令 f(x)0,得 x10,x2ln 2. 当 x 变化时,f(x),f(x)的变化如下表 x(,0)0(0,ln 2)ln 2(ln 2,) f(x) 00 f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增 由表可知,函数 f(x)的递减区间为(0,ln 2),递增区间为(,0), (ln 2,) (2)f(x)ex(x1)ex2kxxex2kxx(ex2k),令 f(x)0,得 x10,x2ln (2k), 令 g(k)ln(2k)k,则 g(k) 10,所以 g(k)在上递增, 1 k 1k k ( 1 2,1 所以 g(k)ln 21ln 2ln e0, 从而 ln (2k)k,所以 ln(2k)0,k, 所以当 x(0,ln(2k)时, f(x)0;当 x(ln(2k),)时,f(x)0; 所以 Mmaxf(0),f(k)max1,(k1)ekk3 令 h(k)(k1)ekk31,则 h(k)k(ek3k), 令 (k)ek3k,则 (k)ek3e30, 所以 (k)在上递减, ( 1 2,1 而 (1)(e3)0, ( 1 2) ( e3 2) 所以存在 x0使得 (x0)0, ( 1 2,1 且当 k时,(k)0,当 k(x0,1)时 (k)0, ( 1 2,x0) 所以 (k)在上单调递增, ( 1 2,x0) 在(x0,1)上单调递减 因为 h 0,h(1)0, ( 1 2) 1 2 e 7 8 所以 h(k)0 在上恒成立, ( 1 2,1 当且仅当 k1 时取得“” 综上,函数 f(x)在0,k上的最大值 M(k1)ekk3.
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