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课时作业 42直线、平面垂直的判定和性质一、选择题1(2018新疆第二次适应性检测)设m,n是不同的直线,是不同的平面,有以下四个命题:若,则若,m,则m若m,m,则若mn,n,则m其中正确命题的序号是()A BC D解析:对于,因为平行于同一个平面的两个平面相互平行,所以正确;对于,当直线m位于平面内,且平行于平面,的交线时,满足条件,但显然此时m与平面不垂直,因此不正确;对于,在平面内取直线n平行于m,则由m,mn,得n,又n,因此有,正确;对于,直线m可能位于平面内,显然此时m与平面不平行,因此不正确综上所述,正确命题的序号是,选A.答案:A2(2017新课标全国卷)在正方体ABCD A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC解析:如图, A1E在平面ABCD上的投影为AE,而AE不与AC,BD垂直, B,D错; A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C,且B1CBC1, A1EBC1,故C正确;(证明:由条件易知,BC1B1C,BC1CE,又CEB1CC, BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1, A1EBC1) A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E,而D1E不与DC1垂直,故A错故选C.答案:C3(2018银川一模)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,G是EF的中点,现沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B、C、D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有()AAH平面EFH BAG平面EFHCHF平面AEF DHG平面AEF解析:由平面图形得AHHE,AHHF,又HEHFH,AH平面HEF,故选A.答案:A4(2018贵阳模拟)如图,在正棱锥PABC中,不能证明APBC的条件是()AAPPB,APPCBAPPB,BCPBC平面BPC平面APC,BCPCDAP平面PBC解析:A中,因为APPB,APPC,PBPCP,所以AP平面PBC,又BC平面PBC,所以APBC,故A正确;C中,因为平面BPC平面APC,BCPC,所以BC平面APC,AP平面APC,所以APBC,故C正确;D中,由A知D正确;B中条件不能判断出APBC,故选B.答案:B5如图所示,直线PA垂直于O所在的平面,ABC内接于O,且AB为O的直径,点M为线段PB的中点现有结论:BCPC;OM平面APC;点B到平面PAC的距离等于线段BC的长其中正确的是()A BC D解析:对于,PA平面ABC,PABC.AB为O的直径,BCAC,又PAACA,BC平面PAC,又PC平面PAC,BCPC.对于,点M为线段PB的中点,OMPA,PA平面PAC,OM平面PAC,OM平面PAC.对于,由知BC平面PAC,线段BC的长即是点B到平面PAC的距离,故都正确答案:B6(2018太原二模)如图,四边形ABCD中,ADBC,ADAB,BCD45,BAD90,将ADB沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成三棱锥ABCD.则在三棱锥ABCD中,下列命题正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析:在四边形ABCD中,ADBC,ADAB,BCD45,BAD90,BDCD.又平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCDBD,CD平面ABD,则CDAB.又ADAB,ADCDD,AB平面ADC,又AB平面ABC,平面ABC平面ADC,故选D.答案:D二、填空题7已知P为ABC所在平面外一点,且PA,PB,PC两两垂直,则下列命题:PABC;PBAC;PCAB;ABBC.其中正确命题的个数是_解析:如图所示,PAPC,PAPB,PCPBP,PA平面PBC.又BC平面PBC,PABC.同理PBAC,PCAB,但AB不一定垂直于BC.答案:38(2018湖北武汉武昌调研)在矩形ABCD中,ABBC,这与已知矛盾,所以不正确答案:9(2018河南安阳二模)如图,在正四棱锥SABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论:EPAC;EPBD;EP平面SBD;EP平面SAC,其中恒成立的为_解析:如图所示,设AC、BD相交于点O,连接SO,EM,EN.对于,由SABCD是正四棱锥,可得SO底面ABCD,ACBD,SOAC.SOBDO,AC平面SBD,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,EMBD,MNSD,而EMMNM,SDBDD,SD,BD平面SBD,MN,EM平面EMN,平面EMN平面SBD,AC平面EMN,ACEP.故正确对于,易知EP与BD是异面直线,因此不正确对于,由可知平面EMN平面SBD,EP平面SBD,因此正确对于,由同理可得EM平面SAC,若EP平面SAC,则EPEM,与EPEME相矛盾,因此,当P与M不重合时,EP与平面SAC不垂直即不正确,故选A.答案:三、解答题10(2017新课标全国卷)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ADCD.(1)证明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,ABBD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比解析:(1)证明:如图,取AC的中点O,连接DO,BO.因为ADCD,所以ACDO.又由于ABC是正三角形,所以ACBO.BODOO,从而AC平面DOB,BD平面DOB,故ACBD.(2)连接EO.由(1)及题设知ADC90,所以DOAO.在RtAOB中,BO2AO2AB2.又ABBD,所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2,故DOB90.由题设知AEC为直角三角形,所以EOAC.又ABC是正三角形,且ABBD,所以EOBD.故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.11(2018湖南湘中教研)如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体,在底面ABCD中,DAB60,ADDC,ABBC,QD平面ABCD,PAQD,PA1,ADABQD2.(1)求证:平面PAB平面QBC;(2)求该组合体QPABCD的体积解析:(1)证明:因为QD平面ABCD,PAQD,所以PA平面ABCD.又BC平面ABCD,所以PABC,因为ABBC,且ABPAA,所以BC平面PAB,又BC平面QBC,所以平面PAB平面QBC.(2)平面QDB将几何体分成四棱锥BPADQ和三棱锥QBDC两部分,过B作BOAD,因为PA平面ABCD,BO平面ABCD,所以PABO,又ADOB,PAADA,所以BO平面PADQ,即BO为四棱锥BAPQD的高,因为BO,S四边形PADQ3,所以VBPADQBOS四边形PADQ,因为QD平面ABCD,且QD2,又BCD为顶角等于120的等腰三角形,BD2,SBDC,所以VQBDCSBDCQD,所以组合体QPABCD的体积为.能力挑战12(2017山东卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.(1)证明:A1O平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.证明:(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1OC,A1O1OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EMBD.又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD.因为B1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1.又A1E,EM平面A1EM,A1EEME,所以B1D1平面A1EM.又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.
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