2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1已知数列an、bn满足an2，bnlog(a1a2a3an)，nN*，则数列bn的通项公式是 答案：bn，nN* 简解：由an2，得a1a2a3an22，nN*所以bn，nN*2已知两点M(0，2)、N(3，6)到直线l的距离分别为1和4，则满足条件的直线l的条数是 答案：3简解：易得MN5，以点M为圆心，半径1为的圆与以点N为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l有3条3设函数f(x)ax2x已知f(3)f(4)，且当n8，nN*时，f(n)f(n1)恒成立，则实数a的取值范围是 答案：(，) 简解：(方法一) 因为当n8时，f(n)f(n1)恒成立，所以a0，此时f(n)f(n1)恒成立等价于f(8)f(9)，即64a881a9，解得a因为f(3)f(4)，所以9a316a4，解得a即a(，)(方法二)考察二次函数f(x)ax2x的对称轴和开口方向因为当n8时，f(n)f(n1)恒成立，所以a0，且，解得a因为f(3)f(4)，所以，解得a即a(，)(第4题)CABDD1C1B1A1PQR4已知ABCDA1B1C1D1是边长为3的正方体，点P、Q、R分别是棱AB、AD、AA1上的点，APAQAR1，则四面体C1PQR的体积为 答案：简解：因为C1C面ABCD，所以C1CBD又因为ACBD，所以BD面ACC1，所以AC1BD又PQBD，所以AC1PQ同理AC1QR所以AC1面PQR因为APAQAR1，所以PQQRRP因为AC13，且VAPQR 121，所以VCPQR ()23VAPQR 5数列满足，N*记Tna1a2an，则T2010等于 答案：6简解：易得：a12，a23，a3，a4，a1a2 a3a41 又a52a1，由归纳法易知an4an，nN* 所以T2010T2008a2009a2010a1a266骰子是一个立方体，个面上分别刻有、点. 现有质地均匀的骰子10只. 一次掷只、只骰子，分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为的概率的比为 答案：1：6.提示：掷3只骰子，掷出6点的情况为1，1，4；1，2，3；2，2，2. 共 3+3!+1=10种，概率为 . 掷4只骰子，掷出6点的情况为1，1，1，3；1，1，2，2. 共 4+=10种，概率为 . 所以概率的比为 : = 1:6 . ABDC(第7题)7在ABC中，已知BC5，AC4，cos(AB)，则cosC 答案： 简解：因，故. 如图，作AD，使BADB，则DACAB设ADBDx，则DC5x在ADC中，由余弦定理得x3再由余弦定理得cosC8在平面直角坐标系xOy中，抛物线y22x的焦点为F. 设M是抛物线上的动点，则的最大值为 答案： 简解：设点M(x，y)，则()21令4x1t，当t0时，显然1当t0时，则()211，且当t3，即x1时，等号成立所以的最大值为，此时点M的坐标为(1，)二、解答题（本题满分16分）xOBAyCDEFP如图，点P是半圆C：x2y21(y0)上位于x轴上方的任意一点，A、B是直径的两个端点，以AB为一边作正方形ABCD，PC交AB于E，PD交AB于F，求证：BE，EF，FA成等比数列证明：设P(cos，sin)，C(1，2)，D(1，2)，E(x1，0)，F(x2，0)因为点P、E、C三点共线，所以，所以x11 5分由点P、F、D三点共线，所以，所以x21 10分所以BEx11，EFx2x1 ，FA所以BEFAEF2即BE，EF，FA成等比数列 16分三、解答题（本题满分20分）设实数，满足，函数，. 若存在，使，求所有的实数的值解答：因为时，当且仅当时等号成立， 5分所以， 15分当且仅当及与时等号成立. 故. 20分四、解答题（本题满分20分）数列an中，已知a1(1，2)，an1an33an23an，nN*，求证：(a1a2)( a31)(a2a3)( a41)(anan1)( an21)证明：(方法一) 由an1an33an23an，得an11(an1)3 令bnan1，则0b11，bn1bn3bn，0bn1 5分所以 (akak1)( ak21)(bkbk1)bk2(bkbk1)bk13(bkbk1)(bk3bk2bk1bkbk12bk13) (bk4bk14) 15分所以 (a1a2)(a31)(a2a3)(a41)(anan1)(an21)(b14b24)(b24b34)(bn4bn14)(b14bn14)b14 20分(方法二) 由an1an33an23an，得an11(an1)3 令bnan1，则0b11，bn1bn3，0bn1 5分所以 (a1a2)( a31)(a2a3)( a41)(anan1)( an21)(b1b2) b3(b2b3) b4(bnbn1) bn2(b1b2) b23(b2b3) b33(bnbn1) bn13 20分2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加 试一、（本题满分40分）圆心为I的的内切圆分别切边AC、AB于点E、F. 设M为线段EF上一点，证明：与面积相等的充分必要条件是.ABCEFPQMIDABCEFMI(第1题)证明：过点M作、，垂足分别为P、Q. 圆I切边BC于点D，则, , .显然AF=AE, 所以, 从而推知, 得. 又 , 所以与面积相等的充要条件是. 由可知，问题转化为证明：的充分必要条件是. 10分首先证明：若，则. 由可知点M在直线ID上. 因为B、D、I、F四点共圆，所以，. 又 IE=IF，则由正弦定理得, 即 ，而. 所以. 30分 其次证明：若，则.设直线ID与EF交于点，则由上述证明可知，于是有，从而 . 故命题成立. 40分二、（本题满分40分）将凸n边形的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形. 对k=1, 2,，n，记是由顶点引出的蓝色边的条数，求证：.证明：不妨设，并且由点A向引出b条蓝色边，则之间无蓝色边，以外的个点，每点至多引出b条蓝色边，因此蓝色边总数. 20分故 . 命题得证. 40分三、（本题满分50分）设正整数的无穷数列（N）满足，（），求的通项公式解：由已知得.若有某个，使，则 ， 10分从而，这显然不可能，因为是正整数的无穷数列. 故数列中的项是严格递增的. 20分从而由可知， ，. 30分 于是由的递推公式及数学归纳法知. 40分 显然数列满足要求，故所求的正整数无穷数列为. 50分四、（本题满分50分）设p是一个素数，. 设，是整数，满足. 求证：存在整数，使得.证明：由条件可知，则.因是素数，故有. 设， 20分则 30分 （这里，）. 命题得证. 50分