轴向拉伸与压缩,一、轴向拉伸和压缩时的内力,二、轴向拉压杆件横截面上的应力,三、轴向拉压杆件的变形与胡克定理,四、材料在轴向拉伸和压缩时的力学性能,五、容许应力与安全系数,四、材料在轴向拉伸和压缩时的力学性能,六、拉亚杆件的强度条件和强度计算,七、应力集中的概念,八、拉压杆件连接部分的强度计算,6.1 轴向拉伸和压缩时的内力,力学模型如图,一、轴向拉伸和压缩的概念,轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。,轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横缩扩。,轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。,轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。,二、轴力,二、轴力,内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。,1. 截面法的基本步骤： 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来 计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。,在求内力的截面m-m 处，假想地将杆截为两部分.,取左部分部分作为研究对象。弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替，合力为FN .,对研究对象列平衡方程,FN = F,式中：FN 为杆件任一横截面 m-m上的内力.与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心.称为轴力(axial force).,轴力:等截面直杆在经历轴向拉伸或者压缩时，杆中任一截面上的内力的合力的方向都和杆轴线方向重合，这种顺延杆轴线方向的内力合力称为轴力。,轴力的正负规定:,当轴力方向与截面的外法线反向时 （指向截面）,轴力为负(压力),正轴力对留下部分起拉伸作用，负轴力对留下部分起压缩作用。,正轴力背离截面，负轴力指向截面。,这样规定以后，在进行轴力显示和计算时，无论保留哪一部分，所求得的任一截面上的轴力的正负号都是一样的。,当轴力方向与截面的外法线 同向时 （背离截面）,轴力为正(拉力),材料力学,拉伸与压缩,8,轴向拉伸与压缩,讨论题： 1.以下关于轴力的说法中，哪一个是错误的？ （A）拉压杆的内力只有轴力； （B）轴力的作用线与杆轴重合； （C）轴力是沿杆轴作用的外力； （D)轴力与杆的横截面和材料无关。,如果杆件受到的外力多于两个，则杆件不同部分 的横截面上有不同的轴力。,二、轴力图,问题：如何描述不同截面的轴力既简单又直观？ 方法：1. 临用时逐个截面计算； 2. 写方程式； 3. 画几何图线 轴力图。,横坐标杆的轴线 纵坐标轴力数值,用 平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出各截面轴力沿轴线的变化规律的图形，称为 轴力图 . 将正的轴力画在x轴上侧，负的画在x轴下侧.,反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。,3.1kN,2.9kN,12,一等直杆其受力情况如图所示， 作杆的轴力图.,C,A,B,D,600,300,500,400,E,40kN,55kN,25kN,20kN,轴力图例题1,13,解: 求支座反力,轴力图例题1,14,求AB段内的轴力,FN1,轴力图例题1,15,求BC段内的轴力,20kN,轴力图例题1,16,求CD段内的轴力,C,A,B,D,E,轴力图例题1,17,求DE段内的轴力,轴力图例题1,18,FN1=10kN （拉力）FN2=50kN （拉力） FN3= - 5kN （压力）FN4=20kN （拉力）,发生在BC段内任一横截面上,轴力图例题1,19,1. 与杆平行对齐画 2. 标明内力的性质（FN） 3. 正确画出内力沿轴线的变化规律 4. 标明内力的符号 5. 注明特殊截面的内力数值（极值） 6. 标明内力单位,轴力注意事项,20,试画出图示杆件的轴力图。 已知 F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN。,解：1、计算杆件各段的轴力。,AB段,BC段,CD段,2、绘制轴力图。,轴力图练习题,如果只受集中荷载，则轴力(图)的简便求法： 自左向右,轴力从0开始，,轴力图的特点：突变值 = 集中载荷值,3kN,5kN,8kN,遇到向左的F， 轴力 增量为正F； 遇到向右的F ， 轴力 增量为负F。,如果左端是约束，需先求出约束反力（约束反力也是外力）,轴力沿杆件分段为常量时轴力图的简便作法：,分段点：集中载荷作用点，截面突变处,如果杆件由几段不同截面的等直杆构成，轴力的计算方法和单一截面的轴力计算方法一样。,6.2轴向拉压杆件横截面上的应力,（1）问题提出：,4. 根据连续性假设，内力是连续分布于整个横截面上的，一般而言，截面上不同点处分布的内力大小和方向都不同。,1. 两杆的轴力都为F.,5. 要判断杆是否会因强度不足而破坏，还必须知道： 度量分布内力大小的分布内力集度应力。 材料承受荷载的能力。,3. 内力大小不能衡量构件强度的大小。,但是经验告诉我们，细杆更容易被拉断。同样材料， 同等内力条件下，横截面积较大的拉杆能承受的 轴向拉力较大。,一. 应力的概念：,A上的内力平均集度为:,当A趋于零时，pm 的大小和方向都将趋于某一极限值。,（2）应力的表示：,大多数情形下，工程构件的内力并非均匀分布，内力集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度(应力)最大处开始。,pm称为面积A上的平均应力。,p称为该点的总应力，它反映内力系在该点的强弱程度，p是一个矢量。,p是M点的总应力，一般来说既不与截面垂直，也不与截面相切，可以对其进行分解为两部分：,垂直于截面的应力分量: ,相切于截面的应力分量: , 正应力（normal stress）, 切应力（shear stress）,应力单位: 牛顿/米2 ， 帕斯卡（Pa）,1KPa=1000Pa 1MPa=1000KPa 1GPa=1000MPa,p称为该点的应力，它反映内力系在该点的强弱程度，p是一个矢量。,应力正负号规定,正应力：离开截面的正应力为正，指向截面的正应力为负。 切应力以其对分离体内一点产生顺时针转向的力矩时为正值的切应力，反之，则为负的切应力 。 切应力的说法只对平面问题有效。,应力定义在受力物体的某一截面上的某一点处，因 此，讨论应力必须明确是在哪一个截面上的哪一点处。,（3）. 应力的特征：,2 在某一截面上一点处的应力是矢量。,3 应力的量纲为ML-1T-2。应力的单位为帕斯卡， 1 Pa1 N/m2, 1 MPa=106 Pa, 1 GPa=109 Pa,4 根据应力的定义，整个截面上各点处应力与微元面积 dA的乘积的合成，即为该截面的内力。,二、拉（压）杆横截面上的应力,拉（压）杆横截面上的内力即为轴力。也就是横截面上各点应力与微元面积dA的乘积的合成。轴力是和截面垂直的。因为切应力不可能合成与截面垂直的合力，所以轴力只可能是正应力的合成，所以,变形前,（1） 变形规律试验及平面假设：,变形后所有纵线都伸长了，所有横线都依然保持为直线，并且与纵线垂直。,受载后,F,F,F,F,假如将杆假想为由无数根纵向纤维组成。则各纤维的伸长都相同。因此可作如下假设：,（2）平面假设：直杆经历轴向拉（压）时，原为平面的横截面（横线就代表杆的横截面）在变形后仍为平面。,假如材料是均匀的，那么，相同的内力将引起相同的变形，反过来，相同的变形必然是由于相同的内力引起的。因为拉压杆每根纤维的伸长都相同，所以它的任意点的内力集度（应力）都是相同的。也就是说，拉（压）杆横截面上的应力分布是均匀的。因此,FN： 轴力 ：正应力,（3） 拉压正应力的正负号规定：,规定：正应力和轴力正负号是一致的。正的正应力为拉应力，负的正应力为压应力。,必须指出，因为上面推导拉压杆横截面上的正应力时假定横截面上正应力是均匀的。其实这只在离外力作用点较远的部分才是正确的。在外力作用点附近，应力分布较为复杂。,（4） 公式的应用条件：,因此，上式严格成立的条件是： 1、拉（压）杆的截面无突变； 2、所考察的截面到载荷作用点有一定的距离。,荷载作用点附近应力示意图,(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。),变形示意图：,应力分布示意图：,（5） 圣维南（Saint-Venant）原理：,圣维南（圣文南）原理指出：“力作用于杆端方式的不同，只会使杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。” 也就是说，离开荷载作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。,如果只考察中间段，则不管受力方式如何（均布力或集中力），均可得到相同的应力分布。,我们研究的杆件的横向尺寸相比纵向尺寸来说一般很小，因此，如非特别说明，可以忽略杆端不同力作用方式的影响。,圣文南原理,计算结果对圣维南原理的证实,计算结果对圣维南原理的证实,危险截面的特点： 1 如截面积相同，则是轴力最大的面； 2 如轴力相同，则是截面尺寸最小的面。,（6） 危险截面及最大工作应力：,对于等截面直杆，有,如果等截面直杆受多个轴向外力的作用，由轴力图可以求出最大轴力，从而求出最大正应力。,如果直杆横截面积变化，则最大轴力处的截面上不一定具有最大正应力。,当正应力达到某一极限值时，杆件将在最大正应力处产生破坏。因此，具有最大正应力的截面叫做危险截面。危险截面上的正应力称为最大工作应力。,材料力学,拉伸与压缩,37,一横截面为正方形的砖柱分上，下两段，其受力情况，各段长度及横截面面积如图所示. 已知F = 50kN，试求荷载引起的最大工作应力.,解：(1)作轴力图,拉压应力-例题1,材料力学,拉伸与压缩,38,(2) 求应力,结论： 在柱的下段，其值为1.1MPa，是压应力.,拉压应力-例题1,材料力学,拉伸与压缩,39,图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为1515的方截面杆。,解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象,45,拉压应力-例题2,材料力学,拉伸与压缩,40,2、计算各杆件的应力。,拉压应力-例题2,6.3 轴向拉压杆件的变形与虎克定理,一、纵向变形及线应变 实验表明，杆件在受轴向拉伸时，沿轴向方向尺寸将发生伸长和横向方向尺寸缩短的变形。若杆件在受轴向压缩时，则会出现轴向方向尺寸缩短和横向方向尺寸增大的变形。图6-8(a)、(b)中，实线为变形前的形状，虚线为变形后的形状。,各段的变形程度可以用每单位长度的纵向伸长来表示。每单位长度的伸长，叫做线应变，用表示。,1 纵向变形和横向变形,只反映整根杆的总变形量，而无法说明沿杆长度方向各段的变形程度。,如果杆的各段伸长是均匀的，那么,一原长为l 的拉杆受力F 的拉伸作用后其长为l1，则杆的纵向伸长为,线应变是无量纲的量，其正负号规定与纵向变形相同。,可见：线应变的正负号和杆的伸长量一致。杆受拉伸时，线应变为正。当杆受压时，线应变为负。,二、 横向变形及泊松比,拉杆纵向伸长时，同时伴随着横向缩短。若拉杆为圆截面，原始直径为d，变形后直径为d1，,则横向变形为,同样，如果每部分的横向变形都是均匀的，可以定义拉杆的横向线应变为,如果横截面是矩形，横向线应变又会是什么样的呢？,以上推导过程同样适用于压杆，只不过对于压杆，纵向线应变为负，横向线应变为正。,1、拉压杆的变形量与其所受力之间的关系和材料的性能有关，并且只能通过实验来获得。对于工程中常用材料制成的拉压杆，一系列实验证明：当杆内的应力不超过某一极限值时，杆的伸长l 与其所受外力F，