专题7 概率与统计第2讲 概率、随机变量及其分布列（B卷）一、选择题（每题5分，共40分）1.（2015山东省潍坊市高三第二次模拟考试12）2（2015山东省淄博市高三阶段性诊断考试试题4）已知随机变量（）A0.477B0.628C0.954D0.9773（2015山东省淄博市高三阶段性诊断考试试题9）若，则函数存在极值的概率为（）ABCD4(2015陕西省西工大附中高三下学期模拟考试8)已知随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）=，EX=1，则DX=（ ）ABCD5.（2015山东省枣庄市高三下学期模拟考试7）6.（2015山东省潍坊市高三第二次模拟考试4） 7. (江西省新八校2014-2015学年度第二次联考6)如图，是边长为1的正方形，为的中点，抛物线的顶点为且通过点，向正方形内偷一点，则点落在阴影部分内的概率为（ ） A. B.C.D. 8(2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试5)如图,在网格状小地图中,一机器人从A(0,0)点出发,每秒向上或向右行走1格到相应顶点,已知向上的概率是,向右的概率是,问6秒后到达B(4,2)点的概率为( )ABC D二、非选择题（60分）9(2015.南通市高三第三次调研测试6)从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取一个数记为x，则为整数的概率为 10（2015南京市届高三年级第三次模拟考试2）经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数012345概率0.10.160.30.30.10.04则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 11(2015盐城市高三年级第三次模拟考试6)某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中至少有一人被录用的概率为 12. ( 徐州、连云港、宿迁三市2015届高三第三次模拟5)已知集合若从中各取一个数，则这两个数之和不小于4的概率为 .13(2015聊城市高考模拟试题14)记集合构成的平面区域分别为M,N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为_14. (2015山东省潍坊市第一中学高三过程性检测15)关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y）的个数m；最后再根据统计数m来估计的值.假如统计结果是m=94，那么可以估计_.（用分数表示）15（2015苏锡常镇四市高三数学调研（二模）5）从3名男生和1名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 16（2015厦门市高三适应性考试15）十八世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出投针问题：在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求得此针与平行线中任一条相交的概率（为圆周率）. 已知，现随机掷14根相同的针（长度为）在这个平面上，记这些针与平行线（间距为）相交的根数为，其相应的概率为.当取得最大值时，17. (江西省新八校2014-2015学年度第二次联考18)（本小题满分12分）今年柴静的穹顶之下发布后，各地口罩市场受其影响审议火爆，A市场虽然雾霾现象不太严重，但经抽样有25的市民表示会购买口罩，现将频率视为概率，解决下列问题：（1）从该市市民中随机抽取3位，求至少有一位市民会购买口罩的概率；（2）从该市市民中随机抽取4位，表示愿意购买口罩的市民人数，求的分布列及数学期望.18.(2015.南通市高三第三次调研测试23)（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为Xn （1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；（2）求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式专题7 概率与统计第2讲 概率、随机变量及其分布列（B卷）参考答案与解析1.【答案】【命题立意】本题旨在考查平面区域，几何概型【解析】作出不等式组的可行域，其是由点O（0，0），A（2，0），B（0，2）围成的三角形区域（包括边界），其面积为S=22=2，而在该三角形区域内，与单位圆重复部分的面积为T=12=，根据几何概型的概率公式可得所求的概率为=2.【答案】C【命题立意】本题主要考查随机变量的正态分布【解析】由随机变量服从正态分布可知正态密度曲线关于轴对称，而，则，09543.【答案】A【命题立意】本题主要考查函数的导数、极值、积分及几何概率模型【解析】由可知，函数存在极值，则，又，所以函数有极值的概率为：4.【答案】A【命题立意】本题旨在考查随机变量的分布列、数学期望与方差【解析】由于P（X=0）=，设P（X=1）=a，则P（X=2）=a，由于EX=0+1a+2（a）=1，解得a=，即P（X=1）=，P（X=2）=，故DX=（01）2+（11）2+（21）2=5.【答案】B【命题立意】本题考查了随机变量的正态分布问题，题目较为简单，关键是学生能正确理解正态分布规律。【解析】因为正态分布曲线关于对称且，所以，所以，又因为是在80到90分之间，所以，所以人数约为16.6.【答案】D【命题立意】本题旨在考查正态分布及其应用【解析】根据正态分布的性质知u=1，而P（0x1）=P（1x2）=P（x2）P（x1）=0.60.5=0.17.【答案】B【命题立意】考查几何概型，用定积分求面积，容易题.【解析】以为坐标原点，建立如图的直角坐标系，由条件易求得点在抛物线的图象上，点落在阴影部分内的概率为.8.【答案】D 【命题立意】本题重点考查了排列、组合、古典概型公式及其运用等知识，属于中档题【解析】根据题意，互斥事件的概率加法公式，得 ，故选D9.【答案】【命题立意】本题考查古典概型，简单的对数运算，意在考查分析能力，容易题.【解析】从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取一个数记为x，使得为整数的有1,2,4,8，故所求的概率为.10.【答案】0.74【命题立意】本题旨在考查概率及其应用【解析】根据题中统计数据，至少有2人排队的概率是P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.7411.【答案】【命题立意】本题旨在考查古典概型及其应用【解析】从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人的所有基本事件为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共有6种，而甲与乙中至少有一人被录用的基本事件为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁，共有5种，根据古典概型的概率公式可得所求的概率为P=12.【答案】【命题立意】本题旨在考查古典概型【解析】从A、B中各取一个数的所有基本事件为：（0，2），（0，3），（0，4），（1，2），（1，3），（1，4），共有6种，而两个灵敏之和不小于4的基本事件为：（0，4），（1，3），（1，4），共有3种，根据古典概型的概率公式可得所求的概率为P=13.【答案】【命题立意】本题旨在考查线性规划和几何概型综合应用，体现了数形结合思想【解析】由题意知本题是一个几何概型试验包含的所有事件是随机向区域M内抛一点，它所对应的图形如图所示：面积是而满足条件的事件是点落在平面区域N内,对应的面积是根据几何概型概率公式得到14.【答案】【命题立意】本题重点考查随机模拟法求圆周率问题以及几何概率的应用问题，难度较大.【解析】由题意知，120对都小于1的正实数对，满足，面积为1，两个能与1构成钝角三角形三边的数对，满足且，面积为，因为统计两数能与1构成钝角三角形的数对的个数为94，所以，得.15.【答案】【命题立意】本题旨在考查古典概型及其应用【解析】设3名男生分别为a，b，c，1名女生为d，从4名学生中随机选取2人的所有基本事件为：ab，ac，ad，bc，bd，cd，共有6种，而两人恰好是一名男生和一名女生的基本事件为：ad，bd，cd，共有3种，根据古典概型的概率公式可得所求的概率为P=16.【答案】4或5【命题立意】本题旨在考查二项分布及其概率计算.【解析】由题.从而得到解得.所以当m=4或5时，P(m)取得最大值.故答案为：4或517.【答案】（1）；（2）的分布列为：01234.【命题立意】考查对立事件，随机变量的分布列、期望，中等题.【解析】（1）依题意可得，任意抽取一位市民会购买口罩的概率为， 从而任意抽取一位市民不会购买口罩的概率为设“至少有一位市民会购买口罩”为事件，则，故至少有一位市民会购买口罩的概率（2）的所有可能取值为：0,1，2，3，4，所以的分布列为：01234 ，或，.18.【答案】（1）随机变量X2的概率分布如下表：X2345P数学期望E(X2)=；（2）E(Xn)=【命题立意】本题考查随机变量分布列、期望，意在考查分析转化能力，计算能力，较难题.【解析】（1）由题意可知X2=3，4，5当X2=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P(X2=3)=；当X2=4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P(X2=4)=；当X2=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P(X2=5)=所以随机变量X2的概率分布如下表：X2345P（一个概率得一分 不列表不扣分）数学期望E(X2)=（2）设P(Xn=3+k)=pk，k=0，1，2，3，4，5则p0+p1+p2+p3+p4+p5=1，E(Xn)=3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5P(Xn+1=3)=，P(Xn+1=4)=p0+p1，P(Xn+1=5)=p1+p2，P(Xn+1=6)=p2+p3，P(Xn+1=7)=p3+p4，P(Xn+1=8)=p4+p5，所以，E(Xn+1)=3p0+4(p0+p1)+5(p1+p2)+6(p2+p3)+7(p3+p4)+8(p4+p5)=p0+p1+p2+p3+p4+p5=(3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p5=E(Xn)+1由此可知，E(Xn+1)-8=(E(Xn)-8)又E(X1)-8=，所以E(Xn)= 11 / 11