题组层级快练题组层级快练(五十八五十八) 1.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F 分别是棱 B1C1，C1D1的中点试求： (1)AD1与 EF 所成角的大小； (2)AF 与平面 BEB1所成角的余弦值； (3)二面角 C1DBB1的正切值 答案 (1)60 (2) (3) 2 2 3 2 2 思路 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则 B1(0，0，0)， A(1，0，1)，B(0，0，1)，D1(1，1，0)，E(0，0)，F( ，1，0)， 1 2 1 2 D(1，1，1) (1)因为(0，1，1)，( ，0)， AD1 EF 1 2 1 2 所以 cos， ， AD1 EF （0，1，1）（1 2， 1 2，0） 2 2 2 1 2 即 AD1与 EF 所成的角为 60. (2)( ，1，1)，由图可得，(1，0，0)为平面 BEB1的一个法向量，设 AF 与平 FA 1 2 BA 面 BEB1所成的角为 ， 则 sin|cos，| ，所以 cos. BA FA （1，0，0）（1 2，1，1） 1 （1 2）2（1）212 1 3 2 2 3 (3)设平面 DBB1的法向量为 n1(x，y，z)， (1，1，0)，(0，0，1)， DB B1B 由得令 y1，则 n1(1，1，0) n1 DB ， n1 B1B ，) n1DB xy0， n1B1B z0，) 同理，可得平面 C1DB 的一个法向量为 n2(1，1，1) 则 cosn1，n2. （1，1，0）（1，1，1） 2 3 6 3 所以 tann1，n2. 2 2 2.如图所示，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点 D，E 分别在棱 PB，PC 上，且 DEBC. (1)求证：BC平面 PAC； (2)当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的余弦值； (3)是否存在点 E 使得二面角 ADEP 为直二面角？并说明理由 答案 (1)略 (2) (3)存在点 E 14 4 解析 方法一：(1)PA底面 ABC， PABC.又BCA90， ACBC，BC平面 PAC. (2)D 为 PB 的中点，DEBC， DE BC. 1 2 又由(1)知，BC平面 PAC， DE平面 PAC，垂足为点 E. DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角 PA底面 ABC，PAAB. 又 PAAB，ABP 为等腰直角三角形 ADAB. 1 2 在 RtABC 中，ABC60.BC AB. 1 2 RtADE 中，sinDAE. DE AD BC 2AD 2 4 cosDAE. 14 4 (3)DEBC， 又由(1)知，BC平面 PAC，DE平面 PAC. 又AE平面 PAC，PE平面 PAC， DEAE，DEPE. AEP 为二面角 ADEP 的平面角 PA底面 ABC， PAAC，PAC90. 在棱 PC 上存在一点 E，使得 AEPC. 这时，AEP90. 故存在点 E 使得二面角 ADEP 是直二面角 方法二：如图所示，以 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz. 设 PAa，由已知可得 A(0，0，0)，B( a，a，0)，C(0，a，0)， 1 2 3 2 3 2 P(0，0，a) (1)(0，0，a)，( a，0，0)， AP BC 1 2 0，BCAP. BC AP 又BCA90，BCAC.又 APACA， BC平面 PAC. (2)D 为 PB 的中点，DEBC， E 为 PC 的中点 D( a，a， a)，E(0，a， a) 1 4 3 4 1 2 3 4 1 2 又由(1)知，BC平面 PAC， DE平面 PAC，垂足为点 E. DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角 ( a，a， a)，(0，a， a)， AD 1 4 3 4 1 2 AE 3 4 1 2 cosDAE. AD AE |AD |AE | 14 4 (3)同方法一 3(2018辽宁沈阳一模)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 AA1C1C底面 ABC，AA1A1CACABBC2，且 O 为 AC 的中点 (1)求证：A1O平面 ABC； (2)求二面角 AA1BC1的余弦值 答案 (1)略 (2) 10 5 解析 (1)AA1A1C，且 O 为 AC 的中点，A1OAC， 又侧面 AA1C1C底面 ABC，交线为 AC，且 A1O平面 AA1C1C， A1O平面 ABC. (2)如图，连接 OB，以 O 为坐标原点，OB，OC，OA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系 由已知可得 A(0，1，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，)，B(，0，0)， 333 (，1，0)，(，0，)，(0，2，0) AB 3 A1B 33 A1C1 设平面 AA1B 的法向量为 m(x1，y1，z1) 则有 mAB 0， mA1B 0) 3x1y10， 3x1 3z10.) 取 x11，则 y1，z11， 3 m(1，1)，为平面 AA1B 的一个法向量 3 设平面 A1BC1的法向量为 n(x2，y2，z2)， 则有 nA1C1 0， nA1B 0) 2y20， 3x2 3z20.) y20，令 x21，则 z21，n(1，0，1)，为平面 A1BC1的一个法向量， cosm，n. mn |m|n| 2 10 10 5 易知二面角 AA1BC1的平面角为钝角， 所求二面角的余弦值为. 10 5 4(2018河北开滦二中月考)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PD 平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，PDAB2，E 为 PC 中点 (1)求证：DE平面 PCB； (2)求点 C 到平面 DEB 的距离； (3)求二面角 EBDP 的余弦值 答案 (1)略 (2) (3) 2 3 3 6 3 解析 (1)证明：PD平面 ABCD，PDBC. 又正方形 ABCD 中，CDBC，PDCDD，BC平面 PCD. DE平面 PCD，BCDE. PDCD，E 是 PC 的中点，DEPC. 又PCBCC，DE平面 PCB. (2)如图所示，过点 C 作 CMBE 于点 M， 由(1)知平面 DEB平面 PCB， 平面 DEB平面 PCBBE，CM平面 DEB. 线段 CM 的长度就是点 C 到平面 DEB 的距离 PDABCD2，PDC90， PC2，EC，BC2.BE. 226 CM. CEBC BE 2 3 3 (3)以点 D 为坐标原点，分别以直线 DA，DC，DP 为 x 轴，y 轴，z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，P(0，0，2)， B(2，2，0)，E(0，1，1)，(2，2，0)，(0，1，1)设平面 DB DE BDE 的法向量为 n1(x，y，z)， 则 n1DB 0， n1DE 0，) 2x2y0， yz0. ) 令 z1，得 y1，x1. 平面 BDE 的一个法向量为 n1(1，1，1) 又C(0，2，0)，A(2，0，0)，(2，2，0)，且 AC平面 PDB， AC 平面 PDB 的一个法向量为 n2(1，1，0) 设二面角 EBDP 的平面角为 ，则 cos. |n1n2| |n1|n2| 2 3 2 6 3 二面角 EBDP 的余弦值为. 6 3 5(2018太原二模)如图，在平面六边形 ABFCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，且 AB4，BC2，AEDE，BFCF，点 M，N 分别是 AD，BC 的中点，分别沿 25 直线 AD，BC 将ADE，BCF 翻折成如图的空间几何体 ABCDEF. (1)利用下面的结论 1 或结论 2，证明：E，F，M，N 四点共面； 结论 1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个 结论 2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个 (2)若二面角 EADB 和二面角 FBCA 都是 60，求二面角 ABEF 的余弦值 答案 (1)略 (2) 238 17 解析 (1)如图，连接 MN，ME，NF， 四边形 ABCD 是矩形，点 M，N 分别是 AD，BC 的中点， AMBN，AMBN，DAB90， 四边形 ABNM 是矩形， ADMN. AEDE，点 M 是 AD 的中点，ADME， 又 MNMEM，AD平面 EMN， 平面 EMN平面 ABCD， 同理可得平面 FMN平面 ABCD， 由结论 2 可得平面 EMN 与平面 FMN 是同一个平面， E，F，M，N 四点共面 (2)由(1)知平面 EMNF平面 ABCD， 过点 E 作 EOMN，垂足为 O， EO平面 ABCD. 以过点 O 作垂直于 MN 的直线为 x 轴，ON，OE 所在直线分别为 y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz. AD2，AEDE，点 M 是 AD 的中点， 2 AEDE，EM1， 二面角 EADB 是 60， EMN60， OM ，OE. 1 2 3 2 同理，过点 F 作 FOMN，可得 ON1，FO. 3 A(1， ，0)，B(1，0)，E(0，0，)，F(0，)，则(0，4，0)， 1 2 7 2 3 2 5 23 AB (1， ，)，(0，) BE 7 2 3 2 EF 5 2 3 2 设 m(x1，y1，z1)是平面 ABE 的法向量， 则 mAB 0， mBE 0，) 4y10， x17 2y1 3 2 z10，) 令 z12，m(，0，2)，是平面 ABE 的一个法向量 3 设 n(x2，y2，z2)是平面 BEF 的法向量， 则 nEF 0， nBE 0，) 5 2y2 3 2 z20， x27 2y2 3 2 z20，) 令 z22，n(，2)是平面 BEF 的一个法向量 12 3 5 2 3 5 cosm，n， mn |m|n| 238 17 易知二面角 ABEF 是钝角， 二面角 ABEF 的余弦值为. 238 17 1(2018河北徐水一中模拟)如下图所示，在四边形 ABCD 中， ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 ABCD，则在三棱锥 ABCD 中，下列命题正确的是( ) A平面 ABD平面 ABCB平面 ADC平面 BDC C平面 ABC平面 BDCD平面 ADC平面 ABC 答案