【2018 高三数学各地优质二模试题分项精品】 专题七 圆锥曲线 一、选择题一、选择题 1 【2018 广东佛山高三二模】已知双曲线的左焦点为 ，右顶点为 ，虚轴的一个端点为 ，若 为等腰三角形，则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得不妨设，则， 因为为等腰三角形，所以只能是 即， （舍去负值） ，选 A. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根 据的关系消掉 得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性 质、点的坐标的范围等. 2 【2018 湖南株洲高三二模】已知双曲线的右焦点为 ，其中一条渐近线与圆 交于两点，为锐角三角形，则双曲线 的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 详解：双曲线的右焦点为 ，一条渐近线方程为 ， 圆的圆心 ，半径为 ， 渐近线与圆交于两点，为锐角三角形， 可得： 可得 又 可得 可得： ，由 可得 所以双曲线 的离心率的取值范围是 故选 D 点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的简单性质的应用，考查转化思想已经计算能力 3 【2018 延安高三模拟】已知，为双曲线的左、右焦点，过的直线 与圆 相切于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D 即有|MF2|=3|MF1|=3a， 由 OM 为三角形 MF1F2的中线，可得 （2|OM|）2+（|F1F2|）2=2（|MF1|2+|MF2|2） ， 即为 4b2+4c2=2（a2+9a2） ， 即有 c2+b2=5 ,再根据 得到双曲线的离心率为 . 故选：D 点睛：本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何 条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同求双曲线离 心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得 ；（2）建立的齐次关系式,将 用表示,令两边同除以 或化为 的关系式,解方程或者不 等式求值或取值范围 4 【2018 安徽淮北高三二模】过抛物线的焦点 的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂 线，垂足分别为两点，以为直径的圆 过点，则圆 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 5 【2018 衡水金卷高三二模】已知双曲线的一条渐近线与直线垂直， 且焦点在圆上，则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，即，又 双曲线的焦点在圆上，故令，解得，所以，又，联立 解得，所以双曲线的标准方程为，故选 B. 6 【2018 安徽安庆高三二模】过双曲线的左焦点 F 作圆的切线，切点为 M，又直线 FM 与直线相交于第一象限内一点 P，若 M 为线段 FP 的中点，则该双曲线的离心率为 A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】因为 选 B. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根 据的关系消掉 得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性 质、点的坐标的范围等. 7 【2018 东莞高三二模】已知双曲线的离心率为 2，过右焦点 的直线 交双曲线 的两条渐近线于两点，且，则直线 的斜率的值等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 8 【2018 广东惠州高三 4 月模拟】已知F是抛物线 2 x4y的焦点， P为抛物线上的动点，且点A的坐 标为0, 1，则 PF PA 的最小值是（ ） A. 1 4 B. 1 2 C. 2 2 D. 3 2 【答案】C 【解析】由题意可得，抛物线 2 4xy的焦点0,1F，准线方程为1y 过点P作PM垂直于准线， M为垂足，则由抛物线的定义可得PFPM，则 sin PFPM PAM PAPA ， PAM为锐角 当PAM最小时， PF PA 最小，则当PA和抛物线相切时， PF PA 最小 设切点2,Pa a，由 2 1 4 yx的导数为 1 2 yx ，则PA的斜率为 11 2 22 a aa a . 1a ，则2,1P. 2PM ， 2 2PA 2 sin 2 PM PAM PA 故选 C 点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有 关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化， 这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的 最值等问题. 9 【2018 河南郑州高三二模】如图，已知抛物线 1 C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点2 4，圆 22 2: 430Cxyx,过圆心 2 C的直线l与抛物线和圆分别交于,P Q M N,则4PNQM的最小 值为( ) A. 23 B. 42 C. 12 D. 52 【答案】A 【点睛】当抛物线方程为 2 2(p0)ypx，过焦点的直线l与抛物线交于,P Q，则有 112 FPFQP ，抛 物线的极坐标方程为 1 cos p ，所以 1 PF 1 cos p ， 2 1 cos1 cos pp QF ，所以 112 FPFQP ，即证。 10 【2018 内蒙古呼和浩特高三一调】已知 21 ,F F是双曲线 22 22 1(0,0) yx ab ab 的上、下两个焦点， 过 1 F的直线与双曲线的上下两支分别交于点,B A，若 2 ABF为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. 2yx B. 2 2 yx C. 6yx D. 6 6 yx 【答案】D 【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出 a，b 的关系是解决本题的关 键 11 【2018 四川德阳高三二诊】如图，过抛物线的焦点 作倾斜角为 的直线 ， 与抛物线及其准线 从上到下依次交于 、 、 点，令，则当时，的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，则 同理可得， 故选 B. 12 【2018 重庆高三 4 月二诊】设集合 22 ,|3sin3cos1,Ax yxyR， ,|34100Bx yxy，记PAB，则点集P所表示的轨迹长度为（ ） A. 2 5 B. 2 7 C. 4 2 D. 4 3 【答案】D 【解析】由题意得圆 22 3sin3cos1xy的圆心3sin , 3cos在圆 22 9xy上，当 变化时，该圆绕着原点转动，集合 A 表示的区域是如图所示的环形区域 由于原点0,0到直线34100xy的距离为 22 10 2 34 d ，所以直线34100xy恰好与圆 环的小圆相切 所以PAB表示的是直线34100xy截圆环的大圆 22 16xy所得的弦长 故点集P所表示的轨迹长度为 22 2 424 3选 D 点睛： 解答本题的关键是正确理解题意，弄懂集合A和PAB的含义，然后将问题转化为求圆的弦长的问题 处理，在圆中求弦长时要用到由半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形，然后利用勾股定理求解。 13 【2018 湖南衡阳高三二模】设双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点为A，右焦点为F,0c,弦 PQ的过F且垂直于x轴，过点PQ，分别作直线,AP AQ的垂线，两垂线交于点B，若B到直线PQ的 距离小于2 ac，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A. 1, 5 B. 1, 3 C. 3,2 D. 5, 【答案】B 点睛：圆锥曲线里求离心率的取值范围，一般是找到关于离心率的不等式，再解不等式.本题就是根据 B到直线PQ的距离小于2 ac得到 4 2 2 b ac aca ，再解这个不等式得到离心率的范围的. 14 【2018 广东茂名高三二模】过抛物线 2 :20E xpy p的焦点，且与其对称轴垂直的直线与E交于 ,A B两点，若E在,A B两点处的切线与E的对称轴交于点C，则ABC外接圆的半径是（ ） A. 21 p B. p C. 2p D. 2p 【答案】B 15 【2018 河北石家庄高三一模】抛物线C： 2 1 4 yx的焦点为F，其准线l与y轴交于点A，点M在 抛物线C上，当2 MA MF 时， AMF的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4 【答案】B 【解析】 01 ,01FA（，）（，） 过M作,MNl 垂足为N，则MNMF 2 MA MF AMF的高等于AN ，设 2 1 0 4 M mmm（，）（） 则AMF的面积 1 2. 2 mm 又由2 MA MF ，三角形AMN为等腰直角三角形， 2 1 1, 4 mm 所以2,m ， AMF的面积 2 故选 B. 二、填空题二、填空题 16 【2018 新疆乌鲁木齐高三质监二】已知F是椭圆C的一个焦点， B是短轴的一个端点，线段BF的 延长线交椭圆C于点D，且20BFDF ，椭圆C的离心率为_ 【答案】 3 3 点睛：本题主要考查的知识点是椭圆的离心率。解决的关键是根据向量的关系，即题目中给的条件， 20BFDF ，结合相似比得到点 31 22 Dcb ，进而代入到方程中，求解得到结论，属于基础题。 17 【2018 陕西榆林高三二模】已知抛物线 2 :4C yx的焦点为 1122 ,F M x yN xy是抛物线C上的 两个动点，若 12 22xxMN，则MFN的最大值为_ 【答案】 3 （或 60） 【解析】由已知 12 22xxMN，得MFNF2 MN， 22 222 31 MFNFMF NF MFNF1 42 cosMFN 2 MF NF2 MF NF2 MN ， 所以MFN 的最大值为 3 故答案为： 3 点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。抛物线定义有两种用途：一 是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点 M 满足定义，它到准线的距离为 d，则|MF|d，可解决有关距离、 最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线 18 【2018 重庆高三 4 月二诊】已知双曲线 22 22 1 xy ab （0a ， 0)b ）的左右焦点分别为 1 F， 2 F，点P在双曲线的左支上， 2 PF与双曲线右支交于点Q，若 1 PFQ为等边三角形，则该双曲线的离 心率是_ 【答案】7 点睛： 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量, ,a b c的方程或不等式，利用 222 bca和e= c a 转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围 19 【2018 广东茂名高三二模】设椭圆 22 22 10 xy ab ab 的上顶点为B，右顶点为A，右焦点为F， E为