第11.2节 一阶微分方程,一、可分离变量方程,二、齐次方程,三、一阶线性微分方程,一、 可分离变量方程,解法,形如,例1 求方程 的通解 解 分离变量，得 两边积分，得,故原方程通解为,(其中C为大于零的任意常数).,则,例2 求方程 的通解，以及满 足初始条件 时的特解 解 此方程为可分离变量方程分离变量，得,两边积分得,此外，可验证函数,为原方程的解.则原方程的,通解为,其中C 为任意常数.,将,代入方程的通解，可得,特解为：,因此，所求,例3 已知某商品的需求弹性为单位弹性，且当价格 P =1 时，需求量Q = 5 000 .求该商品的需求函数 解 依题意可得微分方程 分离变量，得 两边同时积分，得 则方程的通解为 其中 为大于零的任意 常数. 将 Q(1)=5 000 代入通解，可得 因此 该商品需求函数为,例4 设对某种传染病某居民区有a个有可能受感染的个体 (人)，在 时有 个人受感染（ 远小于a）假定此 后与外界隔离，用x表示在时刻t 被感染的人数据传染病学 的研究，传染病的传染速度与该地区内已感染的人数及可能 受感染而尚未感染的人数的乘积成正比求已感染的人数x 与时间t 的函数关系（假定不考虑免疫者） 解 根据题意，得,解此可分离变量方程，得 或 这个模型可称为传染病模型更一般地，由上式给出的 函数的曲线称为逻辑斯谛曲线，用这种曲线描述的数学称逻 辑斯谛模型 注 逻辑斯谛模型具有普遍意义.除了传染病模型外，还有 许多经济学、管理学等领域的实际问题都可归结为该模型. 比如，生物种群的繁殖、信息的传播、新技术的推广等.,二、齐次方程,2.解法,可分离变量的方程,1.定义,例5 求微分方程 的通解 解 令 ，则 即 分离变量，得 两边积分，得 即 将 代入上式，得原方程的通解为 （C为任意常数）,1.一阶线性微分方程的标准形式,上面方程称为齐次的.,上面方程称为非齐次的.,例如,线性的;,非线性的.,三、 一阶线性微分方程,当,当,故齐次方程的通解为,(1) 一阶线性齐次方程,2.一阶线性微分方程的解法,分离变量,两边同时积分可得,则,解法,常数变易法,则,故原方程的通解为,即,即,作变换,两端积分得,(2) 一阶线性非齐次方程,解法,求出齐次方程的通解,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,例6 求方程 的通解 解 所给方程是一阶线性非齐次微分方程这里 得原方程通解,.,3. 伯努利方程,形如 的方程称为伯努利方程.,具体解法如下：,用 乘方程的两边，得到,这是一个以x为自变量、z为未知函数的一阶线性微分 方程，按求解一阶线性微分方程的方法求此方程的通解；再用 代换上面通解中的变量 z，便得到伯努利方程的 通解,解,例7,.,