第1章 函数与模型,抽象产生提高，它可以帮助我们认识一些本质的东西，产生新的研究课题及新的成果；抽象便于推广，它可以使我们将一些不同领域的对象放在一起来研究，并且将一个领域的突破推广到另一个领域.,第1.1节 函数的概念及基本性质,一、函数的基本概念 二、反函数 三、函数的基本性质,定义 设x,y为两个变量,D为非空实数集，若对任意的xD，变量y均按照一定的法则f 有惟一的值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x).其中x称为自变量，x的取值范围称为函数的定义域，常记为Df .y称为因变量，与x对应的y值称为函数值，函数值的集合f(x) xDf称为函数的值域，常记为Zf.,一、函数的基本概念,注(1)函数两要素：定义域、对应法则.,(2)函数表示法：表格法、图形法、公式法.,(3)单值函数，多值函数.,解 要使 有意义，显然要满足：,所以定义域为：,例1 求函数 的定义域.,(4)函数定义域的确定.,(i)由算式表示的函数，定义域是自变量所能取的使算式 有意义的一切实数组成的集合.,(ii)有实际意义的函数，根据实际意义确定.,(5)分段函数是一个函数.,例2 判断下列函数是否相同，并说明理由，画图表示.,（1） 与 ; （2） 与 .,解（1）相同.它们的对应法则与定义域均相同.,（2）不相同.它们的定义域不同.第一个函数的定义域为 , 而第二个函数的定义域为 .,例3 符号函数,例4 取整函数 y=x, x为任意实数,x表示不超过x的最大整数.,例5 设函数 满足方程 ,求,解 先将 换为 ;再求出f(x)表达式.,联立(1)(2),得,定义 设有函数y=f(x),Df和Zf 分别为定义域和值域,若存在映射f-1: Zf Df ，则称f-1为y=f(x)的反函数，记作x= f-1(x).,注(1) y=f(x)和x= f-1(x)的定义域与值域正好相反.,(2)反函数的存在性.,(3)习惯上反函数用 表示.,(4)函数y=f(x)与y=f-1(x)的图形关于直线y=x对称,如下图所示.,二、反函数,例6 设函数,(1)求 的表达式、定义域、值域； (2)画出 与 的图形.,解 (1),(2)图形为,三、函数的基本性质,1.函数的单调性,x,设函数f(x)的定义域为D，区间I D,如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1f(x2),则称函数在区见I上是单调增加（或单调减少）的（如下图所示）.,2.函数的奇偶性,因为 是偶函数，所以,解,内是单调增函数.,3.函数的周期性,通常说周期函数的周期是指最小正周期.,例8 设函数f(x)是以T为周期的周期函数，证明,是以,为周期的周期函数.由此求函数,的周期., 所以,又因为,故,是以,为周期的周期函数.,因为,是以,为周期的周期函数，由已证结论得,证 因为,是以T为周期的周期函数，所以,的周期为,.,设函数 f (x)在区间I上有定义，如果存在常数M，使得对任意的 xI ，恒有,4.函数的有界性,(1) |f (x)|0），则称函数 f (x) 在I上有界(如下图所示);否则称函数 f (x) 在 I 上无界；,(2)f (x)M，则称函数 f (x) 在I上有上界；,(3)f (x)M，则称函数 f (x) 在I上有下界.,例9 从函数,的图像如下图所示，判断其在区间,内是否有界.,解 在区间(1,2)内无界,在(2,3)和(3,+)有界.,