第二节 随机信号通过线性系统的分析,在实际工程应用中，需要对信号进行采集、存储、变换、传输和处理，因此有必要研究随机信号通过各类系统后发生的变化。由于输入是随机信号，输出也是随机信号，因此，不能像输入是确定性信号那样得出其确定的输出响应，只能根据输入随机信号的统计特性以及随机信号所通过的系统的特性，确定出输出随机信号的统计特性。本节主要讨论平稳随机信号通过线性时不变系统后输出信号的统计特性以及系统输入输出之间的关系。,一般地，随机信号通过线性系统时，有两种情况需要分析： 1、平稳情况（稳态）。如果输入是平稳随机信号，系统是线性时不变且稳定的，则当系统完成过渡过程进入稳态后，输出也应该是平稳的随机过程，这时分析的任务应该是求取输出信号的均值、自相关函数、功率谱密度以及输入、输出信号间的互相关函数、互谱密度等。 2、非平稳情况（暂态）。即讨论系统进入稳态前的过渡过程，这时输出一般是非平稳的，分析的任务应该是求取输出信号的数字特征和相关函数。值得注意的是，这时它们应该是时间t的函数（数字特征）或时间 和 的函数（相关函数）。对于稳定的系统， 时它们应等同于第一种情况，对于不稳定的系统，由于输出信号永远不会进入平稳状态，所以只能按过渡过程分析。,一、 平稳随机信号通过连续系统 （一） 系统响应的时域分析 已知一物理可实现线性时不变系统，设它的单位冲激响应为 。当 时，输入随机信号 有界，则其输出零状态响应 的表示式为 如果输入信号是平稳的，则系统响应 也是平稳的。 1.输出 的均值 设系统输入随机信号的均值为 ，则,（6-69）,因为 为平稳随机信号， 为常数，故输出均值为 且由于 ，于是有 可见输出的均值也是与t无关的常数。 同理，可得,（6-70）,（6-71）,可见系统响应的均方值与输入随机信号的自相关函数、系统的结构及参数有关，为一常数。 1. 输出 的自相关函数 根据自相关函数的定义，有,（6-73）,因为 为平稳随机信号，故上式可写成 式（6-75）说明系统输出的自相关函数是输入信号自相关函数与系统冲激响应的双重卷积的结果。同时也表明若输入随机信号是广义平稳的，则系统输出也是广义平稳的。,（6-74）,（6-75）,3.输入与输出之间的互相关函数 根据互相关函数的定义，有 对于平稳随信号，则有 及,（6-76）,（二）系统响应的频域分析 如上节所述，随机信号是功率信号，各样本函数不存在傅立叶变换，所以不能直接利用傅立叶变换分析的方法。但是当系统的输入、输出均为平稳随机信号时，可以通过维纳-辛钦公式，求取功率谱密度函数。 1系统输出的功率谱密度 对于输入为平稳随机信号X(t)的情况，其功率谱密度为 输出Y(t)也应是平稳随机信号，它的功率谱密度应为,（6-79）,将式（674）的 代入上式，有 令 进行变量置换，则 ，故有,（6-80）,（6-81）,上式表明，系统输出的自功率谱等于输入功率谱与系统幅频特性函数平方的乘积。所以可以由系统的幅频特性 与输入功率谱 来确定输出功率谱 。可见，系统的功率传输能力仅与系统的幅频特性有关，而与系统的相频特性无关。 2系统输入与输出之间的互功率谱密度 将式（677）两边取傅立叶变换，并利用傅立叶变换的时域卷积性质，得到,（6-82）,例65 如图64所示，已知系统输入信号x(t)是零均值的白噪声，功率谱 ，求系统输出信号y(t)的均值 ，自相关函数 ，功率谱密度 ，及平均功率 。 解：由图64，可求出系统的频率特性,图64 例65的系统,其中T=RC，由式（681），y(t)的功率谱密度为 查表22，可得y(t)的自相关函数 又由式（661），得y(t)的均值 由式（660），得y(t)的平均功率,二、 平稳随机信号通过离散系统 随机序列通过离散系统的分析，与连续时间随机信号通过连续系统对输出统计特征的分析计算类似，可以采用时域分析与频域分析两种方法。 （一）时域分析 设已知线性时不变离散系统的单位脉冲响应为 在 范围内输入随机序列 ,又设 是 通过该系统的输出序列，则输出随机序列为 与 的卷积和，即,（6-83）,由于输入的是随机信号，输出一般也是随机信号。,1.输出的均值 输出序列的均值 通过（6-83）式计算，即 若 为平稳随机序列，则 为常数，故有 2输出的自相关函数,（6-84）,（6-85）,（6-86）,若 为平稳随机序列，则有 上式说明，输出随机信号 的自相关函数只与时间差m有关。实际上，对于线性时不变系统而言，如果输入随机信号是平稳的，输出随机信号也是平稳的，故其概率特性是时不变的，自相关函数只与时间差有关。 当m=0时，有,（6-87）,（6-88）,3输出与输入之间的互相关函数 根据互相关函数定义有 若 为平稳随机序列，则有,（6-89）,（6-90）,（6-91）,（二）频域分析 类似于连续系统的情况，当平稳随机序列通过线性时不变离散系统时，输出仍然是平稳随机序列，其功率谱密度函数为 表明输出的功率谱密度函数为输入功率谱密度函数与系统幅频特性函数平方的乘积。而输入输出间的互谱密度函数为 离散系统的频域分析采用 变换法更为简单。将随机信号通过离散系统的问题先在 域进行分析,（6-92）,如果分析的结果其收敛域包含了 平面的单位圆在内，则只要将 代以 就可得到所需要的频域分析的结果。 根据维纳-辛钦定理，相关函数与功率谱密度是一对傅立叶变换，对应地，对离散时间信号（序列）来说是一对 变换，即 具体地有,（6-94）,（6-95）,（6-96）,分别对式（6-87）、（6-90）和(6-91)进行 变换，并利用 变换的卷积性质，则有 若以上各 变换式的收敛域均包含了 平面的单位圆在内，则以 依次代入各式，就可求得如下功率谱密度表达式，即输出自功率谱,（6-97）,（6-98）,（6-99）,（6-100）,输入输出间的互功率谱 及 三、 过渡过程分析 在系统响应进入稳态前，一般认为系统的输出是非平稳的，它的统计特性应该是时间t的函数，因此，此时作为与t无关的随机信号平稳特征参量以及它们的傅立叶变换形式都不存在，即信号的功率谱密度函数不存在。,（6-101）,（6-102）,可见频域法分析也失去了意义，只能采用时域分析的方法，分别求出系统的零输入响应和零状态响应，然后将它们叠加。要注意的是在这种情况下，通常认为输入信号是在t=0时刻加入的，在取积分或累加的上下限时不能照搬前面的情况。下面仍以连续情况和离散情况分别讨论。 （一）连续时间信号情况 1零输入响应 初始状态可能是确定性量，也可能是随机变量，如果初始状态是确定性量，所得响应也是确定性的；如果初始状态是随机变量，只要求得所需结果的解析表达式，就能分析所得结果的统计特征。,例6-7 设图6-5中，输入为零均值单位强度的白噪声，开关S是打开的，电路处于平稳状态。在 时开关S合上。求 后电容两端电压Y(t)的均方值及自相关函数。,图 6-5 例67的系统,解：按题意开关S闭合后输出的零状态响应为零，只需求它的零输入响应。先求出S闭合前的系统各参量，这时，已知 ，由式（681），输出Y(t)的功率谱为 自相关函数与功率谱互为傅立叶变换对，查表22，可得输出Y(t)的自相关函数,又由式（628），输出Y(t)的均方值为 S闭合后，待求电路的动态方程为 RC=1，故为 输出Y(t)的零输入响应为 其均方值为,其中， 为S闭合瞬间的Y(t)的均方值，即为S闭合时（电路尚处于平稳状态）Y(t)的均方值，所以用 代入上式，得 而Y(t)的自相关函数为 如设 ， ，则,Y(t)的均方值和自相关函数都是关于t的函数，可见是非平稳的随机过程。 零状态响应 对 的任一具体实现，零状态输出 可通过卷 积来求解，对于因果系统，设 在 时刻接入， 则系统输出为 根据相关函数的定义，输出 的自相关函数为,（6-103）,（6-104）,输入输出的互相关函数为 如果输入是平稳过程，上二式又可以分别写成 如果要求解系统过渡过程的总响应，可以分别分析零输入响应和零状态响应，再将二者合在一起。,（6-105）,（6-106）,（6-107）,（二）离散时间信号情况 离散系统的过渡过程分析也可以采用分别分析零输入响应和零状态响应的方法。根据初始状态是确定性量还是随机变量，来确定系统零输入响应是一个确定性过程还是一个随机过程；系统的零状态响应则可以通过卷积和来分析，在时刻把施加到一个脉冲响应为的时不变因果系统上，如图6-6所示，则有,图6-6 离散时间系统,于是，有 通过变量置换，上式可改写为 系统输入、输出的互相关函数为,（6-108）,（6-109）,例68 一阶AR过程 在 时施加一零均值的平稳白噪声 ，其自相关函数是 求输出的自相关函数。 解：根据题意，有 所以有（见表39）,（6-110）,将上式代入式（6-108），有 只有当 时 函数才有值，令 ，输出的自相关函数为,