1.51.5 函数函数 y=Asiny=Asin（xx）的）的 图象（二）图象（二） 学习目标 1.会用“五点法”画函数yAsin(x)的图象.2.能根据yAsin(x)的 部分图象，确定其解析式.3.了解yAsin(x)的图象的物理意义，能指出简谐运动中 的振幅、周期、相位、初相. 知识点一 “五点法”作函数yAsin(x)(A0，0)的图象 思考 1 用“五点法”作ysin x，x0，2时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？ 答案 依次为 0， ，2. 2 3 2 思考 2 用“五点法”作yAsin(x)时，五个关键的横坐标取哪几个值？ 答案 用“五点法”作函数yAsin(x)(xR R)的简图，先令tx，再由t取 0， ，2 即可得到所取五个关键点的横坐标依次为 2 3 2 ，. 2 3 2 2 梳理 用“五点法”作yAsin(x) 的图象的步骤： 第一步：列表： x 0 2 3 2 2 x 2 3 2 2 y0A0 A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点. 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象. 知识点二 函数yAsin(x)，A0，0 的性质 名称性质 定义域 R R 值域A，A 周期性 T 2 对称性 对称中心(kZ Z) ( k ，0) 对称轴 x(kZ Z) 2 k 奇偶性 当k(kZ Z)时是奇函数； 当k(kZ Z)时是偶函数 2 单调性通过整体代换可求出其单调区间 知识点三 函数yAsin(x)，A0，0 中参数的物理意义 类型一 用“五点法”画yAsin(x)的图象 例 1 利用五点法作出函数y3sin(x)在一个周期内的草图. 1 2 3 解 依次令 0， ，2，列出下表： x 2 3 2 3 2 x 2 3 0 2 3 2 2 x 2 3 5 3 8 3 11 3 14 3 y030 3 0 描点，连线，如图所示. 反思与感悟 (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令x分别为 0， ，2，解出x，从而确定这五点. 2 3 2 (2)作给定区间上yAsin(x)的图象时，若xm，n，则应先求出x的相应 范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象. 跟踪训练 1 已知f(x)1sin(2x)，画出f(x)在x，上的图象. 2 4 2 2 解 (1)x， 2 2 2x ， . 4 5 4 3 4 列表如下： x 2 3 8 8 8 3 8 2 2x 4 5 4 2 0 2 3 4 f(x)21 1 2 1 1 2 2 (2)描点，连线，如图所示. 类型二 由图象求函数yAsin(x)的解析式 例 2 如图是函数yAsin(x)的图象，求A，的值， (A0，0，| 2) 并确定其函数解析式. 解 方法一 (逐一定参法) 由图象知振幅A3， 又T()，2. 5 6 6 2 T 由点可知，20， ( 6 ，0) 6 得，y3sin. 3 (2x 3) 方法二 (待定系数法) 由图象知A3，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五 ( 3 ，0) (5 6 ，0) 点法”中的第三点和第五点)，有Error!解得Error! y3sin. (2x 3) 方法三 (图象变换法) 由T，点，A3 可知， ( 6 ，0) 图象是由y3sin 2x向左平移个单位长度而得到的， 6 y3sin，即y3sin. 2(x 6) (2x 3) 反思与感悟 若设所求解析式为yAsin(x)，则在观察函数图象的基础上，可按以 下规律来确定A，. (1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|. (2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T，确定. 2 | (3)确定函数yAsin(x)的初相的值的两种方法 代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，已知)或代入图象与x轴的交点求解.(此 时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上) 五点对应法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口. ( ，0) “五点”的x的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0； “第二点”(即图象的“峰点”)为x； 2 “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x； “第四点”(即图象的“谷点”)为x； 3 2 “第五点”为x2. 跟踪训练 2 函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则( ) A.y2sin(2x 6) B.y2sin(2x 3) C.y2sin(x 6) D.y2sin(x 3) 答案 A 解析 由图可知，A2，T2， 3 ( 6) 所以2.由五点作图法可知 2， 3 2 所以，所以函数的解析式为y2sin，故选 A. 6 (2x 6) 类型三 函数yAsin(x，|0，0，|0，00)的最小正周期为 ，则该函数的图象( ) (x 3) A.关于点对称 ( 3 ，0) B.关于直线x对称 4 C.关于点对称 ( 4 ，0) D.关于直线x对称 3 答案 A 解析 2，所以f(x)sin(2x). 2 3 将x代入f(x)sin， 3 (2x 3) 得f0，故选 A. ( 3) 5.已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，)的部分图象如图所示. 2 2 (1)求f(x)的解析式； (2)写出f(x)的递增区间. 解 (1)易知A，T42(2)16， 2 ， 2 T 8 f(x)sin(x)， 2 8 将点(2，0)代入得 sin()0， 4 令0， 4 4 f(x)sin(x). 2 8 4 (2)由2kx2k，kZ Z， 2 8 4 2 解得 16k6x16k2，kZ Z， f(x)的递增区间为16k6，16k2，kZ Z. 1.利用“五点”作图法作函数yAsin(x)的图象时，要先令“x”这一个整体 依次取 0， ， ，2，再求出x的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不 2 3 2 是先确定x的值，后求“x”的值. 2.由函数yAsin(x)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，的值. (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|. (2)因为T，所以往往通过求得周期T来确定，可通过已知曲线与x轴的交点从而确 2 定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为 ；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离 T 2 为T. (3)从寻找“五点法”中的第一个零点(，0)(也叫初始点)作为突破口，以 yAsin(x)(A0，0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作 为“五点”中的第一个点. 3.在研究yAsin(x)(A0，0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在 x2k(kZ Z)时取得最大值，在x2k(kZ Z)时取得最小值. 2 3 2 课时作业课时作业 一、选择题 1.已知简谐运动f(x)2sin(|0，00，0，|0，0，0)上的一个最高点的坐标为，此点到相 ( 8 ， 2) 邻最低点间的曲线与x轴交于点，若. ( 3 8，0) ( 2 ， 2) (1)试求这条曲线的函数表达式； (2)用“五点法”画出(1)中函数在0，上的图象. 解 (1)由题意知A，T4， 2 ( 3 8 8) 2，ysin(2x). 2 T2 又sin1，2k，kZ Z， ( 8 2) 4 2 2k，kZ Z，又， 4 ( 2 ， 2) 4 ysin. 2 (2x 4) (2)列出x，y的对应值表： x 8 8 3 8 5 8 7 8 2x 4 0 2 3 2 2 y020 2 0 描点，连线，如图所示. 13.函数yAsin(x)(A0，0，|0，0，00，0)是 R R 上的偶函数，其图象关于点M 对称，且在区间上是单调函数，求和的值. ( 3 4 ，0) 0， 2 解 f(x)在 R R 上是偶函数， 当x0 时，f(x)取得最大值或最小值. 即 sin 1，得k，kZ Z， 2 又 0，. 2 由图象关于点M对称可知， ( 3 4 ，0) sin0，解得 ，kZ Z. ( 3 4 2) 4k 3 2 3 又f(x)在上是单调函数， 0， 2 所以T，即，2，又0， 2 当k1 时， ；当k2 时，2. 2 3 综上， 或 2. 2 2 3